Méthodes d’éléments finis a posteriori pour les équations de Reissner-Mindlin

par Emmanuel Verhille

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Emmanuel Creusé et de Serge Nicaise.

Soutenue le 04-07-2012

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Ce travail est consacré à l’étude d’estimateurs d'erreur a posteriori de type flux équilibrés et résiduels pour la résolution des équations de Reissner-Mindlin par la méthode des éléments finis. Le mémoire débute par l'introduction du problème aux limites et de son analyse de convergence a priori par la méthode des éléments finis. Nous construisons alors pour une discrétisation conforme un estimateur a posteriori de type flux équilibrés fiable, efficace et robuste en l'épaisseur de la plaque t. Nous obtenons finalement une constante multiplicative égale à 1 pour la fiabilité. Des tests numériques illustrent nos résultats pour différents maillages. Puis nous abordons le cas d’une discrétisation non-conforme, où nous proposons un estimateur a posteriori de type résiduel, utilisant une régularisation de la solution discrète. Des tests numériques illustrent également nos résultats. La suite du travail reprend la discrétisation conforme en construisant un estimateur a posteriori défini à partir de la résolution de problèmes localisés sur les patchs de la triangulation, menant à un choix plus consistant avec le problème aux limites. Le dernier chapitre est consacré à l'estimation a posteriori pour le problème aux valeurs propres de Reissner-Mindlin. L’estimateur obtenu est fiable et efficace pour la norme de l'erreur entre les vecteurs propres, permettant également de majorer l’erreur commise entre les valeurs propres. Des tests numériques illustrent nos résultats.

  • Titre traduit

    Finite element method for the Reissner-Mindlin system


  • Résumé

    This work is devoted to the study of equilibrated fluxes and residual a posteriori error estimators for the finite element resolution of the Reissner-Mindlin system. This report begins by the introduction of the boundary value problem and of its a priori convergence analysis in the finite element method context. Then, an equilibrated fluxes a posteriori estimator is built for a conform discretization, which is proven to be reliable, efficient and robust on the plate thickness t. We finally obtain a multiplicative constant equal to 1 for the reliability. Numerical tests illustrate our results on different meshes. Then, we address the non-conforming discretization case, where a residual a posteriori estimator is proposed using a regularisation of the discrete solution. Numerical tests also illustrate our results. Next we come back to the conform discretization by building an a posteriori estimator defined from localised problems resolution on stars, leading to a consistent choice with the boundary value problem. The last chapter is devoted to an a posteriori estimation for the Reissner-Mindlin eigenvalues problem. The obtained estimator is reliable and efficient for the error norm between the eigenvectors, also allowing to evaluate the error between the eigenvalues. Numerical tests illustrate our results.


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