Ensemble de bifurcation des polynômes mixtes et polyèdres de Newton

par Ying Chen

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Mihai-Marius Tibăr.

Soutenue le 28-09-2012

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    L'étude de la fibration de Milnor prend une place très importante dans la Théorie des Singularités. Pour les polynômes holomorphes, on avait déjà beaucoup de résultats montrés par plusieurs spécialistes. Cependant la fibration de Milnor n'existe pas en général pour une application polynomiale. Dans cette thèse on s'intéresse aux propriétés des polynômes mixtes introduits par Oka, qui sont des polynômes C^n → C de variables complexes et leurs conjugées. En utilisant une condition de régularité à l'infini, on montre un théorème de fibration globale qui implique que l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte est inclus dans un ensemble semi-algébrique fermé de dimension réelle inférieure ou égale à un. En particulier, on définit le polyèdre de Newton à l'infini pour un polynôme mixte et on étudie deux conditions de non-dégénéréscence à l'infini par rapport à ce polyèdre. Il s'avère que les deux conditions de "non-dégénéré" sont semi-algébriques ouvertes, et que la condition de "fortement non-dégénéré" n'est pas dense, donc non-connexe. Avec notre construction on généralise un théorème de Néméthi et Zaharia qui donne une approximation de l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte non-dégénéré. On prouve la stabilité de la monodromie pour une famille de polynômes mixtes fortement non-dégénérés en supposant l'invariance des polyèdres de Newton. On établit aussi l'analogue à l'infini du théorème local d'Oka sur l'existence de la fibration de Milnor. Ceci étend considérablement des résultats dans le cas holomorphe.Enfin, on introduit une nouvelle définition de "non-dégénéré" pour des applications polynomiales mixtes et on trouve une extension du théorème de Bivia-Ausina en rapport avec la conjecture Jacobienne.

  • Titre traduit

    Bifurcation values of mixed polynomials and Newton polyhedra


  • Résumé

    The study of the Milnor fibration plays an important role in Singularity Theory. In the holomorphic case there are plenty of results proved by many specialists. However, the Milnor fibration does not always exist for a polynomial application. In this thesis, we focus on the properties of mixed polynomials introduced by Oka which are in fact polynomials C^n → C of complex variables and their conjugates. By using a regularity condition at infinity, we prove a global fibration theorem which implies that the bifurcation set for a mixed polynomial is included in a semi-algebraic closed set of real dimension strictly less than two. In particular, we define the Newton polyhedron at infinity for a mixed polynomial and study two types of non-degenerate conditions at infinity with respect to this polyhedron. It turns out that these two non-degenerate conditions are semi-algebraic and open, and that the "strongly non-degenerat"e condition is neither dense nor connected. By our construction, we generalise the Néméthi and Zaharia's theorem which gives an approximation of the bifurcation set for a non- degenerate mixed polynomial. In addition, we show the stability of the monodromy in a family of strongly non-degenerate mixed polynomials supposing that their Newton polyhedron at infinity is constant. We also set up a global analogue at infinity of Oka's theorem on the existence of Milnor fibration which extends some results in the holomorphic case. In the end, we introduce a new definition of non-degenerate condition for mixed polynomial applications and find an extension of Bivia-Ausina's theorem which relates to the Jacobian conjecture.


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