Métriques naturelles associées aux familles de variétés Kahlériennes compactes

par Gunnar Thor Magnusson

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Jean-Pierre Demailly.

Soutenue le 28-11-2012

à Grenoble , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Institut Fourier (équipe de recherche) .

Le président du jury était Christophe Mourougane.

Le jury était composé de Frederic Campana, Philippe Eyssidieux.

Les rapporteurs étaient Olivier Biquard, Georg Schumacher.


  • Résumé

    Dans cette thèse nous considérons des familles $pi : cc X to S$ de variétés compactes k"ahlerinnes au-dessus d'une base lisse $S$. Nous construisons un cône de K"ahler relatif $p : cc K to S$ au-dessus de la base de déformations. Ensuite nous démontrons l'existence des métriques hermitiennes naturelles sur les espaces totals $cc K$ et $cc X times_S cc K$ qui généralisent la métrique de Weil--Petersson classiuque associée aux familles polarisées de telles variétés. Nous obtenons aussi une métrique riemannienne sur le cône de K"ahler d'une variété compacte k"ahlerienne quelconque. Nous exprimons son tenseur de courbure à l'aide d'un plongement du cône de K"ahler dans l'espace de toutes métriques hermitiennes sur la variété. Nous démontrons aussi que si les variétés en question sont de fibré canonique trivial, alors notre métrique est la forme de courbure d'un fibré en droites holomorphe. Nous donnons ensuite quelques exemples et applications.

  • Titre traduit

    Natural metrics associated to families of compact Kähler manifolds.


  • Résumé

    In this thesis we consider families $pi : cc X to S$ of compact K"ahler manifolds with zero first Chern class over a smooth base $S$. We construct a relative complexified K"ahler cone $p : cc K to S$ over the base of deformations. Then we prove the existence of natural hermitian metrics on the total spaces $cc K$ and $cc X times_S cc K$ that generalize the classical Weil--Petersson metrics associated to polarized families of such manifolds. As a byproduct we obtain a Riemannian metric on the K"ahler cone of any compact K"ahler manifold. We obtain an expression of its curvature tensor via an embedding of the K"ahler cone into the space of hermitian metrics on the manifold. We also prove that if the manifolds in our family have trivial canonical bundle, then our generalized Weil--Petersson metric is the curvature form of a positive holomorphic line bundle. We then give some examples and applications.


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