Les équations aux dérivées partielles stochastiques avec obstacle

par Jing Zhang

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Laurent Denis et de Anis Matoussi.

Le président du jury était Annie Heitz.

Le jury était composé de Vlad Bally, Anne de Bouard.

Les rapporteurs étaient Rainer Buckdahn, Shanjian Tang.


  • Résumé

    Cette thèse traite des Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques Quasilinéaires. Elle est divisée en deux parties. La première partie concerne le problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires et la deuxième partie est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires dirigées par un G-mouvement brownien. Dans la première partie, on montre d’abord l’existence et l’unicité d’un problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires (en bref OSPDE). Notre méthode est basée sur des techniques analytiques venant de la théorie du potentiel parabolique. La solution est exprimée comme une paire (u,v) où u est un processus prévisible continu qui prend ses valeurs dans un espace de Sobolev et v est une mesure régulière aléatoire satisfaisant la condition de Skohorod. Ensuite, on établit un principe du maximum pour la solution locale des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires avec obstacle. La preuve est basée sur une version de la formule d’Itô et les estimations pour la partie positive d’une solution locale qui est négative sur le bord du domaine considéré. L’objectif de la deuxième partie est d’étudier l’existence et l’unicité de la solution des équations aux dérivées partielles stochastiques dirigées par G-mouvement brownien dans le cadre d’un espace muni d’une espérance sous-linéaire. On établit une formule d’Itô pour la solution et un théorème de comparaison.

  • Titre traduit

    Stochastic partial differential equations with obstacle


  • Résumé

    This thesis deals with quasilinear Stochastic Partial Differential Equations (in short SPDE). It is divided into two parts, the first part concerns the obstacle problem for quasilinear SPDE and the second part solves quasilinear SPDE driven by G-Brownian motion. In the first part we begin with the existence and uniqueness result for the obstacle problem of quasilinear stochastic partial differential equations (in short OSPDE). Our method is based on analytical technics coming from the parabolic potential theory. The solution is expressed as a pair (u, v) where u is a predictable continuous process which takes values in a proper Sobolev space and v is a random regular measure satisfying minimal Skohorod condition. Then we prove a maximum principle for a local solution of quasilinear stochastic partial differential equations with obstacle. The proofs are based on a version of Itô’s formula and estimates for the positive part of a local solution which is negative on the lateral boundary. The objective of the second part is to study the well-posedness of stochastic partial differential equations driven by G-Brownian motion in the framework of sublinear expectation spaces. One can also establish an Itô formula for the solution and a comparison theorem.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (157 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 153-157

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