Temps de transitions métastables pour des systèmes dynamiques stochastiques fini et infini-dimensionnels

par Florent Barret

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Sylvie Méléard.

Soutenue en 2012

à Palaiseau, Ecole polytechnique .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel

  • Titre traduit

    Metastable transition times for finite and infinite stochastic dynamical systems


  • Résumé

    In this thesis, we work on metastability for some stochastic dynamical systems. More precisely, we study some differential or partial differential equations perturbed by an additive white noise in the small noise asymptotic. We compute the expectation of the transition times for some models (so-called Eyring-Kramers Formula). First we generalize some known results for Itô diffusions whose drift is given by the gradient of a potential. We give an equivalence between the geometry of the potential and an electrical network which allows a simple computation of the transition times between minima of the potential. To do so, we use potential theory and capacities. The main result of this thesis is about a class of scalar, parabolic, semi-linear stochastic partial differential equations perturbed by a space-time white noise on a bounded real interval as the Allen-Cahn model. These equations are similar to the gradient drift diffusions but in infinite dimension. We consider Dirichlet or Neumann boundary conditions and discuss the periodic boundary conditions. Under some assumptions, we prove a formula, similar to the finite dimensional case, for the transition times. In the proof, we use a finite difference approximation and a coupling and apply the finite dimensional estimates to the approximation. We prove the uniformity of the estimates in the dimension and then we take the limit to recover the infinite dimensional equation

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Informations

  • Détails : 1 vol. (263 p.)
  • Annexes : Bibliographie : 97 réf.

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