Inversibilité stochastique et thèmes afférents

par Rémi Lassalle

Thèse de doctorat en Informatique et réseaux

Sous la direction de Ali Suleyman Ustunel.

Le président du jury était Shizan Fang.

Le jury était composé de Hélène Airault, Mireille Chaleyat-Maurel, Rama Cont, Ivan Nourdin.

Les rapporteurs étaient Ana Bela Ferreira Cruzeiro, Nicolas Privault.


  • Résumé

    Un morphisme d’espaces de probabilité vers l’espace de Wiener, qui est de plus adapté, peut être associé canoniquement à certaines lois d’équations différentielles stchastiques, une de ses propriétés essentielles étant qu’il est un isomorphisme d’espaces de probabilité si et seulement si l’équation différentielle stochastique associée admet une unique solution forte. Puisqu’on peut le voir comme un mouvement Brownien canoniquement associé à une loi, on lui donnera le nom de transformée Brownienne de la loi, et il s’agira de s’intéresser à son inversibilité. Comme on le verra en la présentant, cette notion, qui s’enracine autour de résultats déjà employés par Fölmer il y a fort longtemps, prolonge naturellement la notion d’inversibilité des dérives adaptées qui a été développée ces dernières années dans les travaux d’Üstünel et de Zakai où elle se trouve déjà en germes, et ouvre naturellement à un large éventail d’applications très concrètes. On sera naturellement amené à envisager des problèmes issus de la théorie du filtrage, de la physique statistique, du contrôle stochastique, du transport optimal, ainsi que la théorie de l’information. En particulier, on donnera un résultat d’unicité trajectorielle très général pour la représentation stochastique de la mécanique quantique en temps Euclidien, et on étendra l’inégalité de Shannon aux espaces de Wiener absraits, cette dernière recevant au passage une jolie interprétation en termes de perte d’information dans un canal Gaussien. On transportera ensuite cette notion d’inversibilité dans des cadres plus géométriques tels que l’espace des chemins à valeurs dans un groupe de Lie.

  • Titre traduit

    Stochastic invertibility and related topics


  • Résumé

    I this work we investigate a notion of stochastic invertibility on Wiener space. Rougghly speaking a morphism of probability spaces with values on the Wiener space, which is further adapted, can be canonically associated to the laws of the solutions to some stochastic differential equations. One of the main properties of this morphism is to be invertible (i.e. to be an isomorphism of probability spaces) if and only if the underlying stochastic differential equation has a unique strong solution. Since it may be seen as a Brownian motion, we cal it the Brownian transform of the associated law, and we will study the invertibility of this Brownan transform. We will see that this notion, whose origins may be found in earlier results related to stochastic mechanics, extends and enlightens the notion of invertibility of adapted shifts on Wiener space which was investigated by Üstünel and Zakai in their recent papers, where this notion already appears clearly between the lines. Moreover, from the origin many problems arising in various fields are deeply related to this notion. This opens to a wide spectrum of applications, some of them being very concrete. We will investigate problems of various origins such as statistical physics, information theory, filtering, but also stochastic control and optimal transport. For instance, we will prove a very general result of pathwise uniqueness for the stochastic picture of euclidean quantum mechanics, and we will extend Shannon’s inequality to any abstract Wiener spaces. We also show how this notion of invertivility fits naturally in stochastic differencial geometry.


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