Thèse soutenue

Corps de fonctions cyclotomiques
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Auteur / Autrice : Mohamed Ould Douh
Direction : Bruno Anglès
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
Date : Soutenance en 2012
Etablissement(s) : Caen

Résumé

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Le sujet de cette thèse est a l'interface de la théorie des nombres et de la géométrie arithmétique. Le travail de recherche propose dans cette thèse est dans le domaine de la théorie arithmétique des corps de fonctions. Soient Fq un corps fini ayant q éléments et T une indéterminée sur Fq. Soit C le module de Carlitz qui est un morphisme de Fq-algèbres de Fq[T] dans les endomorphismes Fq linéaires du groupe additif donne par C(T) = TX +Xq. L' arithmétique des corps engendres sur Fq(T) par les points de torsions de C est un sujet central de la théorie arithmétique des corps de fonctions. Depuis ces dix dernières années, la théorie a connu un essor considérable suite aux travaux de G. Anderson, D. Goss, M. Pappanikolas, L. Taelman, D. Thakur. L' objectif de cette thèse est, a la lumière des travaux récents, l' étude arithmétique du module de unités d 'Anderson-Taelman pour Fq[T]. Soit P un irréductible unitaire de Fq[T]. Nous montrons qu'il existe un lien entre le comportement P-adique du module des unités et la divisibilité par P d'une valeur spéciale de la fonction zêta de Carlitz-Goss. Dans cette thèse nous donnons une interprétation arithmético/géométrique de cette congruence en la reliant a l'arithmétique de la jacobienne du P-ieme corps de fonctions cyclotomique.