Sur le lambda-invariant des corps de nombres

par Sophie Roussine

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs intéractions

Sous la direction de Bruno Anglès.

Soutenue en 2012

à Caen .


  • Résumé

    Dans cette thése, on étudie le lambda invariant d'Iwasawa λp(K) lorsque p est un nombre premier impair et K un corps de nombres abélien sur Q. Dans un premier temps on se limite au cas où K est un corps quadratique imaginaire. Rappelons le résultat de K. Horie : pour p un nombre premier fixé, il existe une infinité de corps quadratiques imaginaires tels que λp(K) = 0 ; et une conjecture de R. Greenberg : λp(K) n'est pas borné lorsque K parcourt l'ensemble des corps quadratiques imaginaires et p parcourt l'ensemble des nombres premiers. On énonce dans cette thése un critère permettant de déterminer si λp(K) = 1 lorsque p est un nombre premier impair fixé et K un corps quadratique imaginaire dans lequel p est totalement décomposé. Ce critère est obtenu à partir de l'étude fine d'un théorème de R. Gold. Dans un second temps, par analogie avec des résultats existants dans les corps de fonctions, on conjecture l'existence d'une borne C(p) dépendant de p telle que pour tout corps de nombres abélien K on ait λp(K) ≤ C(p)dKlog(dK) où dK est le discriminant absolu de K. On étudie l'optimalité de cette majoration et ses liens avec d'autres conjectures.

  • Titre traduit

    On the lambda-invariant of number fields


  • Résumé

    This PhD report deals with the study of the Iwasawa lambda invariant λp(K) when p is an odd prime and K is an abelian number field over Q. At first, only the case where K is an imaginary quadratic field is considered. Let's remind us K. Horie's result : for a fixed prime number p, there are infinitely many imagi-nary quadratic fields K such that λp(K) = 0 ; and R. Greenberg's conjecture : λp(K) is not bounded when K runs over the set of imaginary quadratic fields and p runs over the set of prime numbers. In this PhD report, a criterion is given to determine if λp(K) = 1 when p is a fixed odd prime and K is an imaginary quadratic field in which p splits. This result is obtained via a fine study of a theorem of R. Gold. Then, in an other chapter, by analogy with results in function fields, a conjecture is formulated on the existence of a constant C(p) depending on p such that for every abelian number field K we would have λp(K) ≤ C(p)dKlog(dK) where dK is the absolute discriminant of the field K. The optimality of such a bound is studied, as well as how it is related to other conjectures.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (100 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 99-100. Index

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  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque Rosalind Franklin (Sciences-STAPS).
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2012-54
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