Structures de poisson logarithmiques : invariants cohomologiques et préquantification

par Joseph Dongho

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vladimir Roubtsov.

Soutenue en 2012

à Angers .


  • Résumé

    L'objectif de cette thèse est de proposer des critères de préquanti fication des structures de Poisson à singularités portées par un diviseur libre d'une variété complexe de dimension finie. Pour cela, nous partons d'une construction algébrique des di fférentielles formelles logarithmiques le long d'un idéal finiment engendré et propre d'une algèbre commutative, pour introduire la notion d'algèbre de Poisson logarithmique. Puis, nous montrons que de telles structures de Poisson induisent un nouvel invariant cohomologique ; ceci par le billet d'une structure d'algèbre de Lie-Rinehart qu'elles induisent sur le module des di fférentielles formelles logarithmiques. Grâce à ce dernier, nous étudions les conditions d'intégralité des telles structures de Poisson. Tout d'abord, nous montrons que l'application hamiltonienne de toute structure de Poisson logarithmique se prolonge sur la module des di fférentielles formelles logarithmiques et induit une structure d'algèbre de Lie-Rinehart sur ce dernier. De plus l'image de cette application est contenue dans le module des dérivations logarithmiques. Nous appelons cohomologie de Poisson logarithmique la cohomologie induite par cette représentation. Par la suite, nous montrons sur quelques exemples que les groupes de cohomologies de Poisson et ceux de Poisson logarithmique sont en générale di fférentes ; bien qu'ils coïncident dans le cas des structures de Poisson logsymplectiques. Nous terminons par une étude des conditions d'intégralité de telles structures au moyen de cette cohomologie.

  • Titre traduit

    Logarithmic poisson structures : cohomological invariants and prequantization


  • Résumé

    The main objective of this thesis is to propose a criteria of prequantization of singular Poisson structures with singularities carried by a free divisor of a fi nite dimensional complex manifold. For this, we start from an algebraic construction of formal logarithmic di fferentials along a fi nitely generated non trivial ideal of a commutative and unitary algebra. We introduce the concept of logarithmic Poisson algebra. Then, we show that these Poisson structures induce a new cohomological invariant, this is dow via the Lie-Rinehart algebra structure, that they induced on the module of formal logarithmic di fferentials. With the latter, we study the integrale conditions of such Poisson structures. First, we show that the Hamiltonian map of logarithmic Poisson structure extends to the module of formal logarithmic diff erential and induces a structure of Lie-Rinehart algebra on it. Furthermore, we show that its image is contained in the module of logarithmic derivations. We called logaruthmic Poisson cohomologie, the cohomologie induced by this representation. Subsequently, we show on some examples that Poisson cohomologies groups and Poisson logarithmic cohomologies groups are diff erent in general, although they coincide in the case of logsymplectic Poisson structures. We conclude with a study the prequantization conditions of all such structures by means of this cohomology.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (vi-138 p.)
  • Annexes : Bibliographie p. [137]-138

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