Urnes interagissantes

par Mickaël Launay

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vlada Limic et de Pierre Picco.

Le président du jury était Etienne Pardoux.

Le jury était composé de Pierre Picco.

Les rapporteurs étaient Nathanaël Enriquez, Christophe Sabot.


  • Résumé

    Nous nous intéressons au comportement asymptotique de plusieurs urnes de type Polya fortement renforcées et interagissantes. Le principal de notre étude porte sur les renforcements exponentiels ou assimilés ainsi que sur les interactions temporelles, c'est-à-dire lors desquelles les urnes n'interagissent qu'à certains instants aléatoires. Dans ce cas, nous mettons en évidence une transition de phase selon la fréquence des interactions. Si celle ci est supérieure à 1/2, les urnes se fixent toutes sur la même couleur tandis que si elle est inférieure à 1/2, une couleur majoritaire se dégage mais certaines urnes peuvent continuer à tirer une autre couleur aux instants où il n'y a pas interaction. Lorsque le renforcement devient infini, nous pouvons calculer la loi du nombre d'urnes se comportant de cette dernière façon quand le nombre total d'urnes est égal à deux ou est un nombre impair.Quand l'interaction est totale, c'est-à-dire quand toutes les urnes interagissent à tout instant, nous montrons alors qu'un renforcement fort et croissant, mais plus nécessairement exponentiel, suffit à obtenir la fixation de toutes les urnes sur la même couleur.Pour finir, nous discutons brièvement du modèle d'interaction spatiale dans lequel les urnes sont situées sur les sommets d'un graphe et n'interagissent qu'avec leurs voisines. Nous dégageons alors quelques propriétés préliminaires concernant les sous-graphes susceptibles de se fixer sur une couleur avec une probabilité positive.


  • Résumé

    We study the asymptotic behavior of several Polya-type strongly reinforced interacting urns. The main results deal with exponential or exponential-like reinforcements and temporal interactions, that is when the urns interact only at some random times. In that case, we show the existence of a transition of phase depending on the frequency of interactions. If this frequency is larger than 1/2, all the urns eventually fixate on the same color, while if it is smaller than 1/2, a majority color will be fixed after some finite random time but while some of the urns eventually draw only the majority color, there can be other urns that still draw other colors at times where there is no interactions. When the reinforcement becomes infinite, we can calculate the law of the number of urns of later type when the total number of urns is two or an odd integer greater than two.When the interaction is maximal, that is when all the urns interact at any time, we show that a strong and non-decreasing reinforcement, but not necessarily exponential, suffices to obtain the fixation of all the urns on the same color.At the end, we consider briefly the spatial interaction model in which the urns are located on the vertices of a graph and interact only with their neighbors. In that case, we discuss some properties of sub-graphs that can fixate on one color with positive probability.


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