Processus d'exploration, arbres binaires aléatoires avec ou sans interaction et théorème de Ray-Knight généralisé

par Mamadou Ba

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Etienne Pardoux.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on étudie des liens entre processus d'exploration et arbres aléatoires avec ou sans interaction, pour en déduire des extensions du théorème de Ray Knight. Dans la première partie nous décrivons une certaine bijection entre l'ensemble des processus d'exploration et l'ensemble des arbres binaires. On montre que l'arbre associé à un processus d'exploration défini avec les paramètres mu et lambda décrivant les taux de ses minimas et maximas locaux respectivement à n'importe quel instant considéré, est un arbre binaire aléatoire de taux de naissance mu et de taux de mort lambda. De cette correspondance, nous déduisons une représentation discrète d'un processus de branchement linéaire en terme de temps local d'un processus d'exploration. Après renormalisation des paramètres, nous en déduisons une preuve du théorème de Ray Knight généralisé donnant une représentation en loi d'un processus de Feller linéaire en terme du temps local du mouvement brownien réfléchi en zéro avec une dérive. Dans la deuxième partie, nous considérons un modèle de population avec compétition définie par une fonction polynomiale f(x) = x^{alpha}, alpha>0 et partant de m ancêtres à l'instant initial 0. On étudie l'effet de la compétition sur la hauteur et la longueur de la forêt d'arbres généalogiques quand m tend vers l'infini. On montre que la hauteur est d'espérance finie si alpha> 1, et est infinie dans le cas contraire, tandis que la longueur est d'espérance finie si alpha > 2, et est infinie dans le cas contraire.


  • Résumé

    In this thesis, we study connections between explorations processes and random trees, from which we deduce Ray Knight Theorem. In the first part, we describe a bijection between exploration processes and Galton Watson binary trees. We show that the tree we obtain under the curve of an exploration process whose maxima and minima rates are respectively lambda and mu, is a Galton Watson binary tree with birth rate mu and death rate lambda. From this correspondence, we establish a discrete Ray Knight representation of the process population size of a Galton Watson tree in term of local time of exploration process associated to this tree. After some renormalization, we deduce from this discrete approximation with a limiting argument, a generalized Ray Knight theorem giving a representation of a Feller branching process in term of local time of a reflected Brownian motion with a linear drift. In the second part, we consider a population model with competition defined with a function f(x) = x^{alpha}. We study the effect of the competition on the height and the length of the genealogical trees of a large population. We show that the expectation of the height has a finite expectation stays finite if alpha> 1 and is infinite almost surely if alpha le 1, while the length has a finite expectation if alpha > 2, and is infinite almost surely if alpha le 2. In the last part, we consider a population model with interaction defined with a more general non linear function f.


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