Comportement limite de certains problèmes aux limites avec de grands et/ou petits paramètres

par Salima Hassani

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Serge Nicaise et de Ahmed Hammoudi.

Soutenue en 2011

à Valenciennes en cotutelle avec l'Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès (Algérie) .


  • Résumé

    A ce jour, aucune analyse systématique et générale des équations aux dérivées partielles où un paramètre tend vers l’infini dans un sous-domaine contenant une hyper-surface régulière de codimension 1 n’a été effectuée. Afin de traiter ce type de problèmes pour une famille de formes bilinéaires dépendant de deux paramètres delta et sigma où le premier converge vers zéro et le second vers l’infini respectivement et séparément, nous présentons dans cette thèse, un cadre abstrait général aussi large que possible permettant de caractériser les problèmes limites obtenus suite aux passages à la limite de sigma et delta. Nous mettons en évidence le fait que ces deux passages à la limite ne commutent pas entre eux, sauf pour des cas particuliers, qui sont précisés dans le manuscrit, et pour lesquels une condition nécessaire et suffisante garantissant la commutativité est déduite et des résultats de convergence forte sont aussi prouvés. Pour illustrer notre cadre abstrait, nous donnons différents exemples illustratifs pour des problèmes de transmission, pour un premier temps du type elliptique impliquant deux systèmes de l’élasticité le premier isotrope et le second plus général et un autre problème de diffusion, à un paramètre tend vers l’infini et/ou d’une partie du domaine est amenée à converger vers une surface de codimension 1. Ces passages à la limite mènent à des problèmes de transmission nouveaux, comme par exemple un couplage entre le système de Lamé et le système de Stokes. Pour finir, nous nous sommes intéressés au système de Maxwell tridimensionnel (non elliptique). Pour cet exemple seul la limite quand sigma tend vers l’infini est possible. La difficulté pour le passage à la limite quand delta tend vers zéro vient du fait que les espaces fonctionnels emboités sont munis de normes dépendants du paramètre delta. Afin de surmonter cet inconvénient, au moins en dimension deux, nous avons transformé le problème par un changement d’échelle en un problème de perturbation singulière dont nous faisons une analyse asymptotique.

  • Titre traduit

    Limit behaviors of some boundary value problems with high and/or low valued parameters


  • Résumé

    To our knowledge a systematic analysis of general systems of partial differential equations, where one parameter tends to infinity in a sub-domain that squeezes to a smooth hyper-surface of codimension 1 was not performed. In order to treat such problems, for a family of bilinear forms depending on two parameters delta and sigma, the first one being devoted to tend to zero and the second one to infinity, we give a general framework as large as possible allowing to characterize the limit problems obtained further to the passages in the limit. We show that these two passes the limit does not commute, except for particular cases, which are specified in the manuscript, and for which a necessary and sufficient condition guaranteeing the commutativity is deducted. The strong convergence results are also proved. To illustrate our analysis, we then apply this framework for different transmission problems (elliptic one) for the elasticity systems (anisotropic and general case too) and the anisotropic diffusion problems where one parameter tends to infinity and/or a part of the domain squeezes to a smooth surface. In some cases these limit procedures lead to new transmission problems, for example, a coupling between the Lamé system and the Stokes system. To finish, we were interested in the three-dimensional system of Maxwell (not elliptic). For this example only limit when s tends to infinity is possible. The difficulty for the limit when delta tends to zero comes owing to the fact that encased spaces are equipped with norms depended on parameter delta. In order to overcome this disadvantage, at least into the two-dimensional case, we transformed the problem by changing the scale in a singular perturbation problem for which we give an asymptotic analysis.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (X-105 p.)
  • Annexes : Bibliographie p. 103-[106]

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  • Bibliothèque : Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis. Service commun de la documentation. Site du Mont Houy.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 900849 TH
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