Dimension de Hausdorff de lieux de bifurcations maximales en dynamique des fractions rationnelles

Hausdorff dimension of maximal-bifurcation loci in dynamics of rational maps

• Auteur / Autrice : Thomas Gauthier
• Direction : François Berteloot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bifurcation, Théorie de la

Hausdorff, Mesures de

Mots clés libres

Dynamique holomorphe

Dimension de Hausdor

Bifurcation

Théorie du pluripotentiel

Résumé

Dans l'espace Md des modules des fractions rationnelles de degré d,le lieu de bifurcation est le support d'un (1, 1)-courant positif fermé Tbif appelé courant de bifurcation. Ce courant induit une mesure µbif := (Tbif)2d-2 dont le support est le siège de bifurcations maximales. Notre principal résultat est que le support de µbif est de dimension de Hausdor. Totale 2(2d - 2). Il s'ensuit que l'ensemble des fractions rationnelles de degré d possédant 2d - 2cycles neutres distincts est dense dans un ensemble de dimension de Hausdor. Totale. Remarquons que jusqu'alors, seule l'existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles (2d - 2)-Misiurewicz appartiennent au support de µbif. Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thèse, traite de l'espace M2. Nous montrons que, dans ce cas, le courant Tbif se prolonge naturellement à P2 en un (1, 1)-courant positif fermé dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure µbif est non-borné dans M2.

In the moduli space Md of degree d rational maps, the bifurcation locus is the support of a closed (1, 1) positive current Tbif called bifurcation current. This current gives rise to a measure µbif := (Tbif)2d-2 whose support is the seat of strong bifurcations. Our main result says that supp(µbif)has maximal Hausdor. Dimension 2(2d-2). It follows that the set of degree d rational maps having 2d-2distinct neutral cycles is dense in a set of full Hausdor. Dimension. Note that previously, only the existence of such rational maps (Shishikura) was known. Let us mention that for our proof, we. Rst establish that the (2d - 2)-Misiurewicz rational maps belong to the support of µbif. The last chapter, which is independent of the rest of the thesis, deals with the space M2. We prove that, in this case, the current Tbif naturally extends to a (1, 1)-closed positive current on P2 which we calculate the Lelong numbers. We also show that the support of µbif is unbounded in M2.