Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Aurélien Klak
Direction : François CastellaChristophe Cheverry
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et applications
Date : Soutenance en 2011
Etablissement(s) : Rennes 1
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Résumé

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Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d’un paramètre " et étudions l’asymptotique des solutions lorsque ce paramêtre tend vers 0. Le premier problème est lié à l’équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non-captif ne satisfaisant pas l’hypothèse de refocalisation des rayons introduites par F. Castella. On montre que l’ensemble des trajectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l’origine et qui reviennent en 0 forment une sous-variété de dimension d - 1 (le cas limite). On montre alors que la solution de l’équation d’Helmholtz converge vers une perturbation de la solution d’helmholtz avec condition de radiation à l’infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcées par une source polarisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu’on la perturbe à l’instant initiale. On construit une solution approchée du problème. On doit en particulier comprendre les interactions d’ondes se propageant à des échelles différentes. Ensuite, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l’aide de méthodes d’énergie.