Méthodes asymptotiques pour les équations de type helmholtz ou navier-stokes

par Aurélien Klak

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de François Castella et de Christophe Cheverry.

Soutenue en 2011

à Rennes 1 .


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes différentiels dépendant d’un paramètre " et étudions l’asymptotique des solutions lorsque ce paramêtre tend vers 0. Le premier problème est lié à l’équation de Helmholtz haute-fréquence. On construit un potentiel non-captif ne satisfaisant pas l’hypothèse de refocalisation des rayons introduites par F. Castella. On montre que l’ensemble des trajectoires hamiltoniennes (associées au potentiel construit) issues de l’origine et qui reviennent en 0 forment une sous-variété de dimension d - 1 (le cas limite). On montre alors que la solution de l’équation d’Helmholtz converge vers une perturbation de la solution d’helmholtz avec condition de radiation à l’infini et coefficients figés en 0. Dans un second temps, nous étudions une équation de Navier-Stokes forcées par une source polarisée fortement oscillante. On exhibe une famille de solutions exactes. On étudie alors la stabilité de cette famille lorsqu’on la perturbe à l’instant initiale. On construit une solution approchée du problème. On doit en particulier comprendre les interactions d’ondes se propageant à des échelles différentes. Ensuite, on justifie la convergence de la solution approchée vers la solution exacte à l’aide de méthodes d’énergie.

  • Titre traduit

    Asymptotical method for helmholtz or navier-stokes type equations


  • Résumé

    In this thesis, we study two differential problem which depend on a small parameter ". We study the asymptotic of the solutions when " goes to 0. The first problem deals with the high-frequency Helmholtz equation. We construct a non-trapping potential which does not satisfy the refocusing condition introduced by F. Castella. We prove that the Hamiltonian trajectories (associated with this built potential) issued from 0 which go back to the origin form a submanifold of dimension d - 1 (the limiting case). We show that the solution converges to a perturbation of the out-going solution with coefficient frozen in 0. 1 Then we study a Navier-Stokes type equation forced by a polarised and oscillating source. We exhibit a family of exact solutions to the problem. We perturb it at initial time. We construct an approximated solution of this problem. In particular, we have to understand the waves interactions which appear. Finally, we justify the convergence of the approximated solution to the exact solution performing some energy method.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (145 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 143-145

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rennes I. Service commun de la documentation. Section sciences et philosophie.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TA RENNES 2011/41
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.