Trace-positive polynomials, sums of hermitian squares and the tracial moment problem

par Sabine Burgdorf

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Alexander Prestel et de Markus Schweighofer.

  • Titre traduit

    Polynômes à trace positive, sommes de carrés hermitiens et le problème des moments traciaux


  • Résumé

    A polynomial in non-commuting variables is trace-positive if all its evaluations by symmetric matrices have positive trace. The investigation of trace-positive polynomials is related to two famous conjectures: The BMV conjecture and Connes’ embedding conjecture. Results on the question of when a trace-positive polynomial can be written as a sum of hermitian squares and commutators are presented. Further, a partial answer to the BMV conjecture is given. The second part deals with the tracial moment problem: How can one describe sequences of real numbers that are given by tracial moments of a probability measure on symmetric matrices of a fixed size? Several results from the classical moment problem will be transferred to this context. Namely, tracial analogs of results of Stochel, of Riesz and Haviland, and of Bayer and Teichmann as well as of Curto and Fialkow and of Fialkow and Nie are given. Finally, a relaxation for trace-minimization of polynomials using sums of hermitian squares and commutators is proposed. While this relaxation is not always exact, we give a sufficient condition for the exactness of this relaxation.


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    Un polynôme réel en des variables non commutatives a une trace positive si toutes ses évaluations en des matrices symétriques ont une trace positive. La théorie des polynômes à trace positive est liée à des problèmes ouverts : la conjecture BMV et la conjecture de plongement de Connes. Quelques résultats dans la question de déterminer quand des polynômes à trace positive peuvent être écrits comme une somme de carrés hermitiens et de commutateurs sont présentées.  En outre, une solution partielle de la conjecture BMV est présentée. La deuxième partie s'occupe du problème des moments traciaux comment caractériser des suites de nombres réels, qui sont données par des moments traciaux d'une mesure de probabilité sur des matrices symétriques de taille fixée. Certains résultats concernant le problème classique des moments peuvent être reformulés dans le contexte tracial. Il existe des versions traciales de résultats de Stochel, de Riesz et Haviland et de Bayer et Teichmann ainsi que de Curto et Fialkow et de Fialkow et Nie. Enfin, une version plus faible du problème de minimisation de la trace d'un polynôme est proposée. Bien que cet affaiblissement ne soit pas toujours exact, on présente une condition suffisante d'exactitude  de cette version faible.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (X-135 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 129-135

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université de Rennes I. Service commun de la documentation. Section sciences et philosophie.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TA RENNES 2011/9
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