Processus matriciels : simulation et mod?lisation de la d?pendance en finance

par Abdelkoddousse Ahdida

Thèse de doctorat en Math?matiques

Sous la direction de Bernard Lapeyre.

Le président du jury était Nizar Touzi.

Le jury était composé de Bernard Lapeyre, Aur?lien Alfonsi, Lorenzo Bergomi.

Les rapporteurs étaient Josef Teichmann, Arturo Kohatsu-Higa.


  • Résumé

    La premi?re partie de cette th?se est consacr?e ? la simulation des ?quations diff?rentielles stochastiques d?finies sur le c?ne des matrices sym?triques positives. Nous pr?sentons de nouveaux sch?mas de discr?tisation d'ordre ?lev? pour ce type d'?quations diff?rentielles stochastiques, et ?tudions leur convergence faible. Nous nous int?ressons tout particuli?rement au processus de Wishart, souvent utilis? en mod?lisation financi?re. Pour ce processus nous proposons ? la fois un sch?ma exact en loi et des discr?tisations d'ordre ?lev?. A ce jour, cette m?thode est la seule qui soit utilisable quels que soient les param?tres intervenant dans la d?finition de ces mod?les. Nous montrons, par ailleurs, comment on peut r?duire la complexit? algorithmique de ces m?thodes et nous v?rifions les r?sultats th?oriques sur des impl?mentations num?riques. Dans la deuxi?me partie, nous nous int?ressons ? des processus ? valeurs dans l'espace des matrices de corr?lation. Nous proposons une nouvelle classe d'?quations diff?rentielles stochastiques d?finies dans cet espace. Ce mod?le peut ?tre consid?r? comme une extension du mod?le Wright-Fisher (ou processus Jacobi) ?l'espace des matrice de corr?lation. Nous ?tudions l'existence faible et forte des solutions. Puis, nous explicitons les liens avec les processus de Wishart et les processus de Wright-Fisher multi-all?les. Nous d?montrons le caract?re ergodique du mod?le et donnons des repr?sentations de Girsanov susceptibles d'?tre employ?es en finance. En vue d'une utilisation pratique, nous explicitons deux sch?mas de discr?tisation d'ordre ?lev?. Cette partie se conclut par des r?sultats num?riques illustrant le comportement de la convergence de ces sch?mas. La derni?re partie de cette th?se est consacr?e ? l'utilisation des ces processus pour des questions de mod?lisation multi-dimensionnelle en finance. Une question importante de mod?lisation, aujourd'hui encore difficile ? traiter, est l'identification d'un type de mod?le permettant de calibrer ? la fois le march? des options sur un indice et sur ses composants. Nous proposons, ici, deux types de mod?les : l'un ? corr?lation locale et l'autre ? corr?lation stochastique. Dans ces deux cas, nous expliquons quelle proc?dure on doit adopter pour obtenir une bonne calibration des donn?es de march?


  • Résumé

    After a short introduction (in French) to the multi dimensional modelling for index pricing problems, the first part of the thesis treats the simulation of stochastic differential equations defined on the cone of symmetric positive semi-definite matrices. Indeed, we present several second order discretization schemes associated to a general class of affine processes defined on $posm.$ We study also their weak convergence. We pay a special attention to Wishart processes, which are considered as a particular case of this class and have been frequently used in finance. In this case, we give an exact scheme and a third order discretization one. To the best of our knowledge, this is the first exact sampling of the Wishart distribution without any restrictions on its parameters. Some algorithm are proposed in order to enhance all scheme in term of computation of time. We show numerical illustrations of our convergence and compare it to the theoretical rate. We then focus on other type of processes defined on the correlation matrix space. For this purposes, We propose a new stochastic differential equation defined on $crr.$ We prove the weak and the strong existence of such solutions. These processes are considered as the extension of Wright-Fisher processes (or Jacobi process) on correlation matrices. We shed light on a useful connection with Wishart processes and Wright-Fisher multi-all?les. Moreover, we explicitly present their moments, which enable us to describe the ergodic limit. Other results about Girsanov representations are also given. Finally, in order to use these processes in practice, we propose second order discretization schemes based on two different methods. Numerical experiments are presented to show the convergence. The last part is devoted to multi dimension modelling in finance for baskets and indices pricing. After giving a mathematical analysis of models defined either by the correlation matrix or in the positive semi-definite semi positive one, we ask if we find the adequate structure of correlation models which is able to calibrate both the index options market and the single options market related to each component of this index. For this purpose, we propose two types of modelling, the first uses a local model correlation and the second derives from a pure stochastic correlation model. Moreover, we explain different routines that have been used for improved calibration


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