Principe local-global pour les zéro-cycles

par Yongqi Liang

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de David Harari.

Soutenue le 04-10-2011

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était Hélène Esnault.

Le jury était composé de David Harari, Hélène Esnault, Per Salberger, Jean-Louis Colliot-Thélène, Bruno Kahn, Olivier Wittenberg.

Les rapporteurs étaient Per Salberger, Bjorn Poonen.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’étude de l’arithmétique (le principe de Hasse, l’approximation faible, et l’obstruction de Brauer-Manin) des zéro-cycles sur les variétés algébriques définies sur des corps de nombres. Nous introduisons la notion de sous-ensemble hilbertien généralisé. En utilisant la méthode de fibration, nous démontrons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1; et établissons l’exactitude d’une suite de type global-local concernant les groupes de Chow des zéro-cycles, pour certaines variétés qui admettent une structure de fibration au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif, où les hypothèses arithmétiques sont posées seulement sur les fibres au-dessus d’un sous-ensemble hilbertien généralisé.De plus, nous relions l’arithmétique des points rationnels et l’arithmétique des zérocycles de degré 1 sur les variétés géométriquement rationnellement connexes. Comme application, nous trouvons que l’obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse et à l’approximation faible pour les zéro-cycles de degré 1 sur- les espaces homogènes d’un groupe algébrique linéaire à stabilisateur connexe,- certains fibrés en surfaces de Châtelet au-dessus d’une courbe lisse ou au-dessus de l’espace projectif (en particulier, les solides de Poonen).

  • Titre traduit

    Local-global principle for zero-cycles


  • Résumé

    This Ph. D. thesis studies the arithmetic properties (the Hasse principle, the weak approximation, and the Brauer-Manin obstruction) for zero-cycles on algebraic varieties defined over number fields. We introduce the notion of generalized Hilbertian subset. By using the fibration method, we prove that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction tothe Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1; and establish the exactness of a sequence of global-local type concerning Chow groups of zero-cycles, for certain varieties which admit a fibration structure overa smooth curve or over the projective space, where the arithmetic hypotheses are only posed on the fibers over a generalized Hilbertian subset. Moreover, we relate the arithmetic of rational points and that of zero-cycles of degree 1 on geometrically rationally connected varieties. As an application, we find that the Brauer-Manin obstruction is the only obstruction to the Hasse principle and to the weak approximation for zero-cycles of degree 1 on- homogeneous spaces of a linear algebraic group with connected stabilizer,- certain varieties fibered into Chatelet surfaces over a smooth curve or over the projective space (in particular, Poonen's threefolds).


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