Matrices aléatoires et leurs applications à la physique statistique et quantique

par Céline Nadal

Thèse de doctorat en Physique théorique

Sous la direction de Satya Majumdar.

Le président du jury était Jean-Bernard Zuber.

Le jury était composé de Satya Majumdar, Jean-Bernard Zuber, John L. Cardy, Pierre Le Doussal, Yan Fyodorov, Hendrik-jan Hilhorst, Marc Yor.

Les rapporteurs étaient John L. Cardy, Pierre Le Doussal.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ``vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne).

  • Titre traduit

    Random matrices and applications to statistical physics and quantum physics


  • Résumé

    This thesis presents a study of random matrices and some applications in physics, in particular in statistical physics and quantum physics. This work is mostly analytic, but I also performed some Monte Carlo numerical simulations. First I introduce random matrix theory: I define the main random matrix ensembles (in particular Gaussian ensembles) and describe their fundamental properties (distribution of the eigenvalues, density...). Then I study a physical system of interfaces at equilibrium that can be modeled by ``vicious walkers'', ie random walkers that can not meet each other.One can show that the distribution of the positions of the walkers at a given time is the same as the distribution of the eigenvalues of a random matrix. I also consider a problem coming from a very different field, the field of quantum information theory, but that is also closely related to random matrices: the distribution of entanglement for random states in a large bipartite quatum system (made of two parts). Finally I study some properties of random matrices such as the distribution of the number of positive eigenvalues or the one of the maximal eigenvalue (Tracy-Widom and large deviations).


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