Le théorème de concentration et la formule des points fixes de Lefschetz en géométrie d’Arakelov

Concentration theorem and fixed point formula of Lefschetz type in Arakelov geometry

• Auteur / Autrice : Shun Tang
• Direction : Damian Rossler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/02/2011
• Etablissement(s) : Paris 11
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damian Rossler, Klaus Künnemann, José Ignacio Burgos Gil, Jean-Benoît Bost, Carlo Gasbarri, Christophe Soulé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Klaus Künnemann, José Ignacio Burgos Gil

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arakelov, Théorie d'

Lefschetz, Théorème de points fixes de

K-théorie

Mots clés libres

Théorème de concentration

Formule des points fixes de type Lefschetz

Schéma arithmétique

Géométrie d’Arakelov

Concentration theorem

Fixed point formula of Lefschetz type

Arithmetic scheme

Arakelov geometry

Résumé

Dans les années quatre-vingts dix du siècle dernier, R. W. Thomason a démontréun théorème de concentration pour la K-théorie équivariante algébrique sur lesschémas munis d’une action d’un groupe algébrique G diagonalisable. Comme d’habitude,un tel théorème entraîne une formule des points fixes de type Lefschetz qui permetde calculer la caractéristique d’Euler-Poincaré équivariante d’un G-faisceau cohérent surun G-schéma propre en termes d’une caractéristique sur le sous-schéma des points fixes.Le but de cette thèse est de généraliser les résultats de R.W. Thomason dans le contextede la géométrie d’Arakelov. Dans ce travail, nous considérons les schémas arithmétiquesau sens de Gillet-Soulé et nous tout d’abord démontrons un analogue arithmétiquedu théorème de concentration pour les schémas arithmétiques munis d’une action duschéma en groupe diagonalisable associé à Z/nZ. La démonstration résulte du théorèmede concentration algébrique joint à des arguments analytiques. Dans le dernier chapitre,nous formulons et démontrons deux types de formules de Lefschetz arithmétiques. Cesdeux formules donnent une réponse positive à deux conjectures énoncées par K. Köhler,V. Maillot et D. Rössler.

In the nineties of the last century, R. W. Thomason proved a concentrationtheorem for the algebraic equivariant K-theory on the schemes which are endowed withan action of a diagonalisable group scheme G. As usual, such a concentration theoreminduces a fixed point formula of Lefschetz type which can be used to calculate theequivariant Euler-Poincaré characteristic of a coherent G-sheaf on a proper G-schemein terms of a characteristic on the fixed point subscheme. It is the aim of this thesis togeneralize R. W. Thomason’s results to the context of Arakelov geometry. In this work,we consider the arithmetic schemes in the sense of Gillet-Soulé and we first prove anarithmetic analogue of the concentration theorem for the arithmetic schemes endowedwith an action of the diagonalisable group scheme associated to Z/nZ. The proof is acombination of the algebraic concentration theorem and some analytic arguments. Inthe last chapter, we formulate and prove two kinds of arithmetic Lefschetz formulae.These two formulae give a positive answer to two conjectures made by K. Köhler, V.Maillot and D. Rössler.