Contrôle stochastique appliqué à la finance

par Thanh Nam Vu

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Bruno Bouchard-Denize.

Soutenue en 2011

à l'Université Paris-Dauphine .


  • Résumé

    Dans la littérature, un problème de cible stochastique est souvent étudié en utilisant des arguments de dualité qui permet de se ramener à un problème écrit sous une forme standard de contrôle stochastique, voir par exemple Cvitani´c et Karatzas (1993), Föllmer et Kramkov (1997), et, Karatzas et Shreve (1997). Cependant, cette approche ne requiert pas seulement la preuve d’une formulation duale, mais aussi ne s’appliquent qu’aux dynamiques linéaires. Afin d’éviter ces difficultés, on se base sur les étapes introduites par Soner et Touzi (2002), qui ont proposé un nouveau principe de la programmation dynamique, appelé géométrique. Cela ouvre les portes pour un nombre vaste d’applications, notamment pour le contrôle des risques en finance et assurance. Dans un cadre markovien, il permet de dériver les équations aux dérivées partielles associées au problème de cible stochastique de la manière plus directe,à l’exception de la formulation standard de dualité. L’objectif principal de cette thèse est d’étendre leurs résultats à des applications importantes dans le contrôle des risques en finance et en assurance. En particulier, dans la première partie, nous proposons une extension du principe de la programmation dynamique géométrique, qui est associée à une option barrière de type américain avec contraintes. Les différences principales proviennent du fait que nous n’imposons pas l’hypothèse de non-dégénérescence sur les coefficients des actifs financiers sousjacents. Cette hypothèse apparaissent dans les marchés financiers complets et est aussi nécessaire à la formulation de dualité. Nous prenons cette occasion pour expliquer comment ce problème peut être traité et être transposé à l’option américaine sans barrière. Nous étudions également une classe de problèmes de cible stochastique avec multiples contraintes au sens de la probabilité dans la deuxième partie. En pratique, cet ensemble de contraintes doit être considéré comme une description sommaire d’une distribution ciblée de P&L. Ceci caractérise le prix de sur-réplication sur une forme de P&L comme une unique solution de viscosité d’une équation aux dérivées partielles. Dans cette thèse, on étudie des telles équations dans le cadre de marchés complets pour deux cas suivants. Au premier cas, le montant d’argent investi dans les actifs risqués est nonborné, voir l’exemple d’une option d’achat dans le modèle de Black-Scholes dans Föllmer and Leukert (1999). Au second cas, les stratégies financières appartient à l’ensemble de processus progressivement mesurable prenant des valeurs dans un sous-ensemble compact U. Finalement, nous considérons une version faible du principe classique de la programmation dynamique introduite par Bouchard et Touzi (2009) et l’appliquons à une nouvelle classe de problèmes de contrôle stochastique associées à des diffusions mixtes. En laquelle le processus contrôlé est défini comme la solution d’une équation différentielle stochastique, qui est rejetée à la frontière d’un domaine borné O. La direction de réflexion obique est contrôlée par un processus prévisible qui peut avoir des sauts


  • Résumé

    This PhD dissertation presents three independent research topics in the field of stochastic target and optimal control problems with applications to financial mathematics. In a first part, we provide a PDE characterization of the super hedging price of an American option of barrier types in a Markovian model of financial market. This extends to the American case a recent works of Bouchard and Bentahar (2006), who considered European barrier options, and Karatzas and Wang (2000), who discussed the case of perpetual American barrier options in a Black and Scholes type model. Contrary to their result, we do not use the usual dual formulation, which allows to reduce to a standard control problem, but instead prove and appeal to an American version of the geometric dynamic programming principle for stochastic targets of Soner and Touzi (2002). This allows us to avoid the non-degeneracy assumption on the volatility coefficients, and therefore extends their results to possibly degenerate cases which typically appear when the market is not complete. As a by-product, we provide an extension to the case of American type targets, which is of own interest. In the second part, within a Brownian diffusion Markovian framework, we provide a direct PDE characterization of the minimal initial endowment required so that the terminal wealth of a financial agent (possibly diminished by the pay off of a random claim) can match a set of constraints in probability. Such constraints should be interpreted as a rough description of a targeted profit and loss (P&L) distribution. This allows to give a price to options under a P&L constraint, or to provide a description of the discrete P&L profiles that can be achieved given an initial capital. This approach provides an alternative to the standard utility indifference (or marginal) pricing rules which is better adapted to market practices. From the mathematical point of view, this is an extension of the stochastic target problem under controlled loss, studied in Bouchard, Elie and Touzi (2008), to the case of multiple constraints. Although the associated Hamilton-Jacobi-Bellman operator is fully discontinuous, and the terminal condition is irregular, we are able to construct a numerical scheme that converges at any continuity points of the pricing function. The last part of this thesis is concerned with the extension of the optimal control of direction of reflection problem introduced in Bouchard (2007) to the jump diffusion case. In a Brownian diffusion framework with jumps, the controlled process is defined as the solution of a stochastic differential equation reflected at the boundary of a domain along oblique directions of reflection which are controlled by a predictable process which may have jumps. We also provide a version of the weak dynamic programming principle of Bouchard and Touzi (2009) adapted to our context and which is sufficient to provide a viscosity characterization of the associated value function without requiring the usual heavy measurable selection arguments nor the a-priori continuity of the value function

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  • Détails : 1 vol. (158 p.)
  • Annexes : bibliogr. 51 ref.

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