Hashing to elliptic curves and cryptanalysis of RSA-based schemes

Hachage vers les courbes elliptiques et cryptanalyse de schémas RSA

• Auteur / Autrice : Mehdi Tibouchi
• Direction : David Naccache, Jean-Sébastien Coron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation (mathématiques)

Adressage calculé (informatique)

Courbes elliptiques

Cryptographie

Résumé

Cette thèse comporte deux parties distinctes, consacrées aux deux versants de la cryptologie: construction et analyse. Les travaux de construction, d'une part, concernent la cryptographie à base de courbes algébriques, et plus particulièrement le problème de l'encodage et du hachage à valeurs dans les courbes elliptiques. Nous avons notamment étudié certaines propriétés quantitatives de diverses fonctions d'encodage vers les courbes et obtenu une construction satisfaisante de fonctions de hachage à partir de ces encodages. Ces résultats utilisent principalement des méthodes d'arithmétique des corps de fonctions, de géométrie des courbes et des surfaces, et de sommes de caractères. Toujours en cryptographie à base de courbes elliptiques, nous avons également travaillé sur une question d'implémentation: l'obtention de formules d'addition et de doublement sûres et efficaces. Les travaux de cryptanalyse, d'autre part, ont porté sur divers cryptosystèmes fondés sur RSA, principalement des schémas de chiffrement et de signature. Nous avons en particulier obtenu et mis en œuvre des attaques sur des fonctions de remplissage (paddings) normalisées et d'usage encore répandu, comme ISO/IEC 9796-2 pour les signatures et PKCS#1 vl. 5 pour le chiffrement. Nous nous sommes également intéressé aux attaques physiques par fautes sur les signatures RSA utilisant les restes chinois, et avons proposé une meilleure attaque sur les schémas RSA utilisant de petits sous-groupes. Les outils employés vont des techniques de calcul d'indice ou de réduction de réseaux à l'algorithmique efficace des polynômes de grand degré.

This thesis consists of two independent parts, devoted to both aspects of cryptology: construction and analysis. Contributions to cryptography proper, on the one hand, address open questions in algebraic curve-based cryptography, particularly the problem of encoding and hashing to elliptic curves. We derive some quantitative results on curve-valued encoding fonctions, and give a satisfactory construction of hash fonctions based on those encodings, using a range of mathematical techniques from fonction field arithmetic, the algebraic geometry of curves and surfaces, and character sums. We also worked on a more implementation-related problem in elliptic curve cryptography, namely the construction of fast addition and doubling formulas. Our cryptanalytic work, on the other hand, focuses on RSA-based cryptoSystems—mostly encryption and signature schemes. We have obtained and carried out new attacks on standardized padding schemes that remain in widespread use, including ISO/IEC 9796-2 for signatures and PKCS#1 vl. 5 for encryption. We also propose new physical fault attacks on RSA signature schemes using the Chinese Remainder Theorem, and a stronger attack on RSA schemes relying on small hidden-order subgroups. The tools involved include index calculus, lattice reduction techniques and efficient arithmetic of large degree polynomials.