Catégories amassées aux espaces de morphismes de dimension infinie : applications

par Pierre Guy Plamondon

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bernhard Keller.

Soutenue en 2011

à Paris 7 .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée au développement et à l'utilisation d'outils catégoriques pour l'étude des algèbres amassées de S. Fomin et A. Zelevinsky. La catégorie amassée généralisée de C. Amiot est une catégorie triangulée ayant été utilisée, dans le cas où elle est Hom-finie, pour catégorifier certaines algèbres amassées au moyen de caractères amassés au sens de Y. Palu. Dans cette thèse, nous généralisons les méthodes connues au cas où la catégorie amassée n'est pas Hom-finie, obtenant ainsi une catégorification de toute alge��bre amassée antisymétrique. Pour ce faire, nous nous restreignons à une sous-catégorie de la catégorie amassée qui est stable par mutation et possède une propriété analogue à la condition 2-Calabi-Yau. Nous prouvons l'existence d'un caractère amassé sur cette sous-catégorie. Nous utilisons ensuite ces outils pour interpréter la combinatoire des algèbres amassées au moyen de la catégorie amassée. Notamment, nous démontrons une correspondance entre les g-vecteurs et les indices, donnons une interprétation des F-polynômes, et prouvons que les définitions de mutation dans l'algèbre et dans la catégorie sont cohérentes entre elles. Ces propriétés nous permettent de donner une nouvelle démonstration à de nombreuses conjectures pour les algèbres amassées antisymétriques. Finalement, en nous inspirant d'un travail récent de C. Geiss, B. Leclerc et J. Schrôer, nous montrons comment l'ensemble des indices, en bijection avec l'ensemble des g-vecteurs, permet la construction d'une base de certaines algèbres amassées. Nous expliquons pourquoi cette construction fournit un bon candidat pour l'obtention d'une base de l'algèbre amassée supérieure en général.

  • Titre traduit

    Cluster categories with infinite-dimensional morphism spaces : applications


  • Résumé

    This thesis is concerned with the development and application of categorical tools in the study of the cluster algebras of S. Fomin and À. Zelevinsky. C. Amiot's generalized cluster category is a triangulated category which has been used, in the case where it is Hom-finite, to categorify a certain class of cluster algebras, using cluster characters in the sense of Y. Palu. In this thesis, we generalize these results to the case where the cluster category is not Hom-finite, thus obtaining a categorification of any skew-symmetric cluster algebra. In order to do so, we restrict ourselves to a subcategory of the cluster category which is stable under mutation and satisfies an analogue of the 2-Calabi-Yau condition. We prove the existence of a cluster character on this subcategory. We then use these tools to interpret the combinatorics of cluster algebras inside the cluster category. In particular, we prove a correspondence between g-vectors and indices, provide an interpretation of F-polynomials, and show that the definition of mutation in the algebra and in the category are consistent with each other. These properties allow us to give new proofs of numerous conjectures for skew-symmetric cluster algebras. Finally, starting from recent work by C. Geiss, B. Leclerc and J. Schrôer, we show how the set of indices parametrizes a basis for a class of cluster algebras. We then show that this construction provides us with a good candidate for a basis of the upper cluster algebra in general.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (106 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 75 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2011) 101
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