Sous-variétés spéciales des variétés spinorielles complexes

par Roger Nakad

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Oussama Hijazi.

Le président du jury était Jean-Pierre Bourguignon.

Le jury était composé de Emmanuel Humbert, Sebastian Montiel, Andrei Moroianu, Vestislav Apostolov.


  • Résumé

    Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spinc dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spinc. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spinc permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes de dimension 3 dont le groupe d'isométries est de dimension 4, les structures Spinc permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spinc admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal.

  • Titre traduit

    Special submanifolds of Spinc manifolds


  • Résumé

    In this thesis, we aim to make use of Spinc geometry to study special submanifolds. We start by establishing basic results for the Spinc Dirac operator. We give then inequalities of Hijazi type involving the energy-momentum tensor. Studying the energy-momentum tensor on a Spinc manifold is related to several geometric situations. Indeed, it appears in the study of the variations of the spectrum of the Dirac operator and in the Einstein-Dirac equation. The study of hypersurfaces of Spinc manifolds allows us for a better understanding of this tensor since it is the second fundamental form of the immersion. Being natural structures on the 3-homogeneous manifolds with 4-dimensional isometry group, Spinc structures will be investigated in the study of some Riemannian problems on hypersurfaces of these manifolds. In fact, we prove a Lawson correspondence for constant mean curvature surfaces. Finally, we characterize complex structures and CR structures by Spinc structures admitting a special spinor, called pure spinor or transversal spinor


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