Comportement asymptotique de systèmes dynamiques discrets et continus en Optimisation et EDP : algorithmes de minimisation proximale alternée et dynamique du deuxieme ordre à dissipation évanescente.

par Pierre Frankel

Thèse de doctorat en Mathématiques et modélisation

Sous la direction de Hedy Attouch.

Soutenue le 27-09-2011

à Montpellier 2, dans le cadre de I2S - Information, Structures, Systèmes, en partenariat avec I3M - Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier (laboratoire) .

Le jury était composé de Hedy Attouch, Alexandre Cabot, Alain Haraux, Gérard Michaille, Alberto Seeger, Benar fux Svaiter.

Les rapporteurs étaient Felipe Alvarez, Patrick louis Combettes.

mots clés

• Système dynamique dissipatif du second ordre
• Comportement asymptotique
• Algorithme proximal
• Minimisation alternée
• Décomposition de domaine pour les EDP
• Lagrangien
• Algorithmes

Résumé

La première partie de cette thèse (articles I et II) est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions d'un système dynamique du second ordre avec dissipation évanescente. Le système dynamique est étudié dans sa version continue et dans sa version discrète via un algorithme.La deuxième partie de cette thèse (articles III à VI) est consacrée à l'étude de plusieurs algorithmes de type proximal. Nous montrons que ces algorithmes convergent vers des solutions de certains problèmes de minimisation. Dans chaque cas, une application est donnée dans le cadre de la décomposition de domaine pour les EDP.

mots clés

• Second order dissipative dynamical system
• Asymptotic behavior
• Proximal algorithm
• Alternating minimization
• Domain decomposition for PDE's
• Lagrangian

Titre traduit

Asymptotic behavior of discrete and continuous dynamical systems in Optimization and PDE's : alternating proximal minimization algorithms and second order dynamical system with vanishing dissipation.

Résumé

The first part of this thesis is devoted to the study of the asymptotic behavior of solutions of a second order dynamic system with vanishing dissipation. The dynamic system is studied in its continuous version and in its discrete version via an algorithm.The second part is about the study of several proximal-type algorithms. We show that these algorithms converge to solutions of some minimization problems. In each case, an application is given in the area of domain decomposition for PDE's.