Propriétés spectrales et universalité d’opérateurs de composition pondérés

par Élodie Pozzi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Isabelle Chalendar.

Soutenue le 14-10-2011

à Lyon 1 , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec ICJ - Institut Camille Jordan (Villeurbanne, Rhône) (laboratoire) .

Le président du jury était Christian Le Merdy.

Le jury était composé de Emmanuel Fricain, Gilles Godefroy, Jonathan Richard Partington.

Les rapporteurs étaient Ernst Albrecht, Hervé Queffélec.


  • Résumé

    Cette thèse est dédiée à l'étude d'opérateurs de composition pondérés sur plusieurs espaces fonctionnels sous fond du problème du sous-espace invariant. Cet important problème ouvert pose la question de l'existence pour tout opérateur sur un espace de Hilbert, complexe, séparable de dimension infinie, d'un sous-espace fermé, non-trivial et invariant par cet opérateur. La première partie est consacrée à l'étude spectrale et à la caractérisation des vecteurs cycliques d'un opérateur de composition à poids particulier sur L^2([0,1]^d) : l'opérateur de type Bishop, introduit comme possible contre-exemple au problème du sous-espace invariant. Les seconde, troisième et quatrième parties abordent ce problème sous un autre aspect : celui de l'universalité d'un opérateur. Ces opérateurs universels possèdent la propriété d'universalité : la description complète des sous-espaces invariants d'un opérateur universel permettrait de répondre au problème du sous-espace invariant. Déterminer l'universalité d'un opérateur repose sur l'établissement de propriétés spectrales fines de l’opérateur considéré (théorème de Caradus). Dans ce but, nous établissons des propriétés spectrales ad-hoc de classes d’opérateurs de composition à poids sur L^2([0,1]), les espaces de Sobolev d’ordre n, sur les espaces de Hardy du disque unité et du demi-plan supérieur, permettant de déduire des résultats d’universalité. Nous obtenons aussi une généralisation du critère d’universalité. Dans la dernière partie, nous donnons une caractérisation des opérateurs de composition rsid16415432 inversibles et une caractérisation partielle des opérateurs de composition isométriques sur les espaces de Hardy de l’anneau

  • Titre traduit

    Spectral properties and universality of weighted composition operators


  • Résumé

    In this thesis, we study classes of weighted composition operators on several functional spaces in the background of the invariant subspace problem. This important open problem asks the question of the existence for every operator, defined on a complex and separable infinite dimensional Hilbert space, of a non trivial closed subspace invariant under the operator. The first part is dedicated to the establishment of the spectrum and the characterization of cyclic vectors of a special weighted composition operator defined on L^2([0,1]^d) : the Bishop type operator, introduced as possible counter-example of the invariant subspace problem. The second, third and fourth part approach the problem from the point of view of universal operators. More precisely, universal operators have the universal property in the sense of the complete description of all the invariant subspaces of a universal operator could solve the invariant subspace problem. A sufficient condition for an operator to be universal (Caradus’theorem) is given in terms of spectral properties. To this aim, we establish ad-hoc spectral properties of a class of weighted composition operators on L^2([0,1]) and Sobolev spaces of order n, of composition operator in the Hardy space of the unit disc and of the upper half-plane, which lead us to deduce universality results. We also obtain a generalization of the universality criteria mentioned above. In the last part, we give a characterization of invertible composition operators and a partial characterization of composition operators on the Hardy space of the annulus

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