Modélisation intermédiaire entre équations cinétiques et limites hydrodynamiques : dérivation, analyse et simulations

par Martin Parisot

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Thierry Goudon et de Jean-François Clouët.

Soutenue le 23-09-2011

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) .


  • Résumé

    Ce travail est consacré à l’étude d’un problème issu de la physique des plasmas : le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l’équilibre Maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Härm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolaï est situé dans le contexte des limites hydrodynamiques hors du cadre strictement asymptotique et analysé. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que des propriétés mathématiques comme le principe du maximum et la dissipation d’entropie. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. Notamment, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système de Schurtz et Nicolaï apparaît comme une simplification du système issu de la dérivation. L’existence et l’unicité de la solution du système non stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en oeuvre d’un schéma numérique spécifique pour résoudre ces modèles. On propose une approche par volumes finis pouvant être efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques de nature cinétique, qui ne peuvent être reproduits par le modèle asymptotique de Spitzer–Härm. La consistance de ce schéma avec celui de l’équation de Spitzer–Härm est mise en évidence, ouvrant la voie a des stratégies de couplage entre les deux modélisations.

  • Titre traduit

    Intermediate modeling between kinetic equations and hydrodynamic limits : derivation, analysis and simulations


  • Résumé

    This work is devoted to the study of a problem resulting from plasma physics: heat transfer of electrons in a plasma close to Maxwellian equilibrium. Firstly, the asymptotic regime of Spitzer-Harm is studied. A model proposed by Schurtz and Nicolai is analyzed and located in the context of hydrodynamic limits outside of the strictly asymptotic. The link to non-local models of Luciani and Mora is established, as well as the mathematical properties such as the principle of maximum and entropy dissipation. Then, a formal derivation from the Vlasov equations is proposed. A hierarchy of intermediate models between the kinetic equations and the hydrodynamic limit is described. In particular, a new system hydrodynamics, integro-differential by nature, is proposed. The system Schurtz and Nicolai appears as a simplification of the system resulting from the diversion. The existence and uniqueness of the solution of the nonstationary system are established in a simplified framework.The last part is devoted to the implementation of a specific numerical scheme for solving these models. We propose a finite volume approach can be effective on unstructured grids. The accuracy of this scheme to capture specific effects such as kinetic, which may not be reproduced by the asymptotic Spitzer-Harm model. The consistency of this pattern with that of the Spitzer-Harm equation is highlighted, paving the way for a strategy of coupling between the two models.


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