Analyse d'erreurs d'estimateurs des dérivées de signaux bruités et applications

par Dayan Liu

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Soutenue le 17-10-2011

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) .


  • Résumé

    Ce mémoire concerne la construction et l'analyse d'estimateurs robustes pour le calcul numérique des dérivés de signaux bruités et des paramètres de signaux sinusoïdaux bruités. Dans la première partie, nous étudions des familles d'estimateurs de dérivées obtenus par des méthodes algébriques. Nous montrons que pour une classe d'entre eux, il est possible de les formuler directement en tronquant une série orthogonale de polynômes de Jacobi. Cette considération nous permet alors d'étendre à IR le domaine de définition des paramètres de ces estimateurs. Nous analysons ensuite l'influence de ces paramètres étendus sur l'erreur de troncature, qui produit un retard d'estimation dans le cas causal, puis sur l'erreur due aux bruits, considérés comme des processus stochastiques, et enfin sur l'erreur numérique de discrétisation des intégrales. Ainsi, nous montrons comment réduire le retard d'estimation et l'effet du aux bruits. Une validation de cette approche est réalisée par la construction d'un observateur non asymptotique de variables d'état d'un système non linéaire. Dans la deuxième partie, nous construisons par l'approche algébrique des estimateurs des paramètres d'un signal sinusoïdal bruité dont l'amplitude varie avec le temps. Nous montrons que les méthodes classiques de fonctions modulatrices sont un cas particulier de cette approche. Nous étudions ensuite l'influence des paramètres algébriques sur l'erreur d'estimation due au bruit et l'erreur numérique d'intégration. Finalement, une comparaison entre ces estimateurs et la méthode classique de détection synchrone est réalisée pour démontrer l'efficacité de notre approche sur ce type de signaux.

  • Titre traduit

    Error analysis of a class of derivative estimators for noisy signals and applications


  • Résumé

    This thesis concerns the construction and analysis of robust estimators for the numerical calculations of the derivatives of noisy signals and the parameters of noisy sinusoidal signals. In the first part of this thesis, we study some families of derivative estimators obtained by the algebraic methods. We show that a class of them can be directly obtained by truncating the Jacobi orthogonal series. This consideration allows us to extend the set of the parameters defining these estimators to IR. Then, we analyze the influence of these extended parameters on the truncation error which produces a time-delay estimation in causal case, on the error due to noises considered as stochastic processes, and finally on the error due to numerical integration methods. Thus, we show how to reduce the time-delay and the noise effect. A validation of this approach is achieved by constructing a non-asymptotic observer of the state variables of a nonlinear system. In the second part of this thesis, by using the algebraic method we construct estimators of the parameters of a noisy sinusoidal signal the amplitude of which varies with time. Moreover, we show that the modulating functions method has a link to the algebraic method. We then study the influence of parameters defining the estimators on the noise error contribution and the numerical integration error. In particular, some error bounds of these errors are given for a class of parameter estimators. Finally, a comparison between these estimators and the classical synchronous detection method is performed so as to demonstrate the effectiveness of our approach on such signals.


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