Spécialisations de revêtements galoisiens

par Nour Ghazi

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de Pierre Dèbes.

Soutenue le 30-09-2011

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) .


  • Résumé

    Dans ce travail, on s'intéresse à étudier des questions concernant la spécialisation de revêtements galoisiens. Le point de départ est le problème de Beckmann-Black. Etant donnée une extension galoisienne E/K de groupe G, existe-t-il un revêtement galoisien f de groupe G défini sur K qui se spécialise en E/K en un point t_0\in K? Un premier résultat est une réponse locale: si S est un ensemble fini de places finies de K, on peut trouver un revêtement galoisien f de groupe G, défini sur une extension finie L/K tel que pour v\in S, L/K est totalement décomposée dans K_v et le revêtement f, étendu à L_v = K_v, se spécialise en EK_v/K_v en un point t_0 \in K (fixé à l'avance). On peut demander en plus que f, vu sur L, se spécialise en une extension de groupe G isomorphe à EL/L (au même point t_0). Un deuxième résultat correspond à l'énoncé similaire mais avec les extensions EK_v/K_v remplacées par des extensions locales E^v/K_v plus générales, qui ne proviennent pas forcément d'une extension globale E/K; on suppose qu'elles sont de groupe H_v \subset G et sont non ramifiées. Il y a pour ce deuxième résultat des hypothèses sur les corps résiduels. Ce deuxième énoncé est relié au problème de Grunwald. Le troisième résultat est lié à l'énoncé précédent qui combine une conclusion de type Grunwald-Wang pour les groupes arbitraires, une version effective du théorème de Hilbert et le problème inverse de Galois.

  • Titre traduit

    Specializations of Galois covers


  • Résumé

    In our work, we are interested to study some open questions concerning the specialization of Galois covers. The starting point is the Beckmann-Black problem. This problem asks whether a given finite Galois extension E/K of group G is the specialization of some Galois cover f of group G definite over K at some point t_0 \in K ? The first result is a conclusions local: if S is a finite ensemble of finites places of K, we can find a Galois cover f of group G definite over a finite extension L/K such that for all v\in S, L/K is totally split in K_v and the specialization of the cover f, after scalars extension to L_v=K_v, is a Galois extension isomorphic to EL/L (in the same point t_0). The second result is in the same statement but with extensions EK_v / K_v replaced by with local extensions E^v/K_v, which do not necessarily come from a global extension E / K; we assume that they are unramified of group H_v\subset G. With some hypotheses on the residual fields, this second result is related to the problem of Grunwald. The third result combines a conclusion of the Grunwald-Wang problem for arbitrary groups, an effective version of Hilbert's theorem and the inverse problem of Galois.


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