Algèbres de polynômes bornés sur ensembles semi-algébriques non bornés

par Maria Michalska

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Krzysztof Kurdyka et de Stanislaw Spodzieja.

Soutenue le 30-11-2011

à Grenoble en cotutelle avec l'Uniwersytet łódzki , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques (équipe de recherche) .

Le président du jury était Ryszard Pawlak.

Le jury était composé de Georges Comte, Andrzej Nowicki, Matthieu Palloix, Ioan Ionescu, Luc Bousquet.

Les rapporteurs étaient Claus Scheiderer, Zbigniew Jelonek, Wojciech Kucharz.


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions les algèbres des polynômes qui sont bornés sur un ensemble semi-algébrique non borné. Tout d'abord nous abordons le problème consistant à déterminer si un polynôme est borné sur un ensemble. Nous résolvons ce problème pour les polynômes à deux variables définis sur des ensembles semi-algébriques quelconques. Dans la section suivante nous donnons une méthode pour déterminer des générateurs de l'algèbre des polynômes bornés et ce pour une large classe de semi-algébriques du plan réel. Dans la section 3 nous établissons une relation entre les valeurs de bifurcation du complexifié d'un polynôme $f$ à deux variables et la stabilité de la famille d'algèbres des polynômes bornés sur les ensembles ${fle c}$. Dans la section 4 nous décrivons la structure de l'algèbre des polynômes bornés sur un certain type de sous-ensembles de $mathbb{R}^n$ avec $n$ arbitraire, que nous appelons tentacules pondérées. Nous donnons aussi une preuve géométrique du fait que l'algèbre d'un sous-ensemble non borné d'un ensemble algébrique propre n'est pas de type fini. Dans la section suivante nous établissons une correspondance entre les cônes convexes et les algèbres des ensembles obtenus par des inégalités sur des monômes appropriés. Enfin, nous démontrons une version du Positivstellensatz de Schmudgen pour les polynômes bornés sur un ensemble non compact.

  • Titre traduit

    Algebras of bounded polynomials on unbounded semialgebraic sets


  • Résumé

    The main topic of the thesis is a study of algebras of polynomials which are bounded on a given unbounded semialgebraic set. First we tackle the problem of deciding the boundedness of a polynomial on a set. We achieve it for polynomials in two variables for any semialgebraic set. We give also a method of finding generators of the algebra of bounded polynomials for a large class of semialgebraic subsets of the real plane. In Section 3 we have established a relation between bifurcation values of a complexification of polynomial $f$ in two variables and the family of algebras of bounded polynomials on the sets ${fle c}$. In section 4 we describe the algebras of bounded polynomials for subsets of $mathbb{R}^n$, where $n$ is arbitrary, which we call weighted tentacles. We also provide a geometric proof of the fact that for a unbounded subset of a proper algebraic set its algebra cannot be finitely generated. In the next section we establish a correspondence between convex cones and algebras of bounded polynomials on the sets described by monomial inequalities. At the end of this thesis we prove a version of Schmudgen's Positivstellensatz for bounded polynomials.


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