Autour de l'évaluation numérique des fonctions D-finies

Around the Numerical Evaluation of D-Finite Functions

• Auteur / Autrice : Marc Mezzarobba
• Direction : Bruno Salvy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2011
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles linéaires -- Théorie asymptotique

Équations différentielles linéaires

Fonctions spéciales

Calcul formel

Mots clés libres

Scindage binaire

Points singuliers réguliers

Calcul numérique certifiéâ séries de Tchebycheff

Résumé

Les fonctions D-finies (ou holonomes) à une variable sont les solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. En calcul formel, il s'est avéré fructueux depuis une vingtaine d'années d'en développer un traitement algorithmique unifié. Cette thèse s'inscrit dans cette optique, et s'intéresse à l'évaluation numérique des fonctions D-finies ainsi qu'à quelques problèmes apparentés. Elle explore trois grandes directions. La première concerne la majoration des coefficients des développements en série de fonctions D-finies. On aboutit à un algorithme de calcul automatique de majorants accompagné d'un résultat de finesse des bornes obtenues. Une seconde direction est la mise en pratique de l'algorithme " bit burst " de Chudnovsky et Chudnovsky pour le prolongement analytique numérique à précision arbitraire des fonctions D-finies. Son implémentation est l'occasion de diverses améliorations techniques. Ici comme pour le calcul de bornes, on s'attache par ailleurs à couvrir le cas des points singuliers réguliers des équations différentielles. Enfin, la dernière partie de la thèse développe une méthode pour calculer une approximation polynomiale de degré imposé d'une fonction D-finie sur un intervalle, via l'étude des développements en série de Tchebycheff de ces fonctions. Toutes les questions sont abordées avec un triple objectif de rigueur (résultats numériques garantis), de généralité (traiter toute la classe des fonctions D-finies) et d'efficacité. Pratiquement tous les algorithmes étudiés s'accompagnent d'implémentations disponibles publiquement

D-Finite functions of one variable (also known as holonomic functions) are the solutions of linear ordinary differential equations with polynomial coefficients. Developing a unified treatment of these functions has proven fruitful in Computer Algebra for the last twenty years. In line with these ideas, the present thesis is concerned with the numeric evaluation of D-finite functions and related issues. We focus on three directions. First, we describe an algorithm to compute upper bounds on the coefficients of power series expansions of D-finite functions, starting from the associated differential equations. The main originality of our approach is that we state a tightness criterion with respect to which the computed bounds are optimal. Our second focus is the multiple precision analytic continuation of D-finite functions. Here, we put into practice the "bit burst" method of Chudnovsky and Chudnovsky by implementing it, eliminating several redundancies and suggesting various other improvements. Both the bound computation algorithm and the numeric analytic continuation cover the case of generalized series expansions at regular singular points of differential equations. Finally, we develop a method for the approximation of D‑finite functions by polynomials of prescribed degree over a segment, based on their Chebyshev expansions. All these questions are addressed with the triple goal of mathematical rigor (all approximations include error bounds), generality (the entire class of D-finite functions is treated in a uniform way) and efficiency. In almost all cases, our algorithms are accompanied by publicly available implementations