Analyse mathématique et numérique de quelques problèmes d'ondes en milieu périodique

par Julien Coatléven

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Patrick Joly.

Soutenue en 2011

à Palaiseau, Ecole polytechnique .


  • Résumé

    De nombreux problèmes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles posées dans un domaine pour lesquels la géométrie ainsi que les coefficients sont décrits par des fonctions périodiques, hormis dans certaines régions de taille modeste par rapport à celle du domaine d'intérêt (on parle alors de perturbations pour ces régions). Les caractéristiques du problème sortant très souvent du cadre d'application des méthodes d'homogénéisation, nous avons développé des méthodes alternatives tirant parti de la periodicité afin de restreindre le domaine de calcul à des domaines bornés. Pour cela, nous avons généralisé les approches de type Lippmann-Schwinger, ce qui nous permet de traiter le cas de défauts bornés ou le cas de défauts non bornés structurés, la difficulté tenant au fait que l'on ne dispose pas dans le cas d'un milieu périodique quelconque d'une représentation analytique de la solution en l'absence de perturbation (i. E la fonction de Green est inconnue en général). Notre approche repose sur la connaissance des opérateurs de Dirichlet- to-Neumann (DtN) de bandes périodiques non bornés dans une seule direction. Nous traitons deux grandes familles de problèmes, les problèmes harmoniques, pour lesquels les opérateurs DtN dans les bandes sont connus, et les problèmes d'évolution, pour lesquels nous proposons une méthode de construction de ces opérateurs. Nous traitons dans ces deux situations le cas d'une perturbation bornée ou non, puis nous généralisons les techniques de scattering multiple du milieu homogène au cas périodique, afin de pouvoir traiter le cas de plusieurs perturbations

  • Titre traduit

    Mathematical and numerical analysis of wave problems in periodic media


  • Résumé

    The modeling of many interesting physical problems leads to partial differential equations, in a domain whose geometry and coefficients are functions periodic outside some regions, called scatterers, which are small with respect to the full domain of interest. The caracteristics of these problems often prevent us from applying classical homogeneization techniques, that is why we have developped new methods to restrict the computational domain to bounded domains. We have generalized the Lippmann-Schwinger equation approach, which allows us to treat bounded and structured unbounded scatterers, the main issue being that for a generic periodic media there is no analytic representation of the solution in the case without scatterers (i. E the Green function is unknown). Dirichlet-to-Neumann maps for periodic strips infinite in one direction play a key role in our approach. We treat two kinds of problems : time harmonic problems, for which the DtN maps for strip problems are known, and evolution problems, for which we present a method of derivation of these operators. In these two cases, we first treat the case of one bounded or unbounded scatterer, then we generalize the multiple scattering methods for homogeneous media to the case of periodic media, which allow us to handle several scatterers as wel

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  • Détails : 1 vol. (514 p.)
  • Annexes : Bibliographie 83 réf. p.

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