Continuité des représentations de groupes topologiques

par Jean-Christophe Tomasi

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean-Martin Paoli.

Soutenue en 2011

à l'Université de Corse .


  • Résumé

    Soit L(X) l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Banach X et soit : G⇾L(X) une représentation fortement continue d'un groupe topologique G dans X. Pour chaque élément g dans le groupe G, on considère la projection sur le cercle unité du spectre ( (g)) de l'opérateur inversible (g), on note donc 1 ( (g)):={ /| |, ∊ ( (g))}, et on considère l'ensemble de tous les éléments g du groupe G tels que 1 ( (g)) ne contienne aucun polygone régulier, on note donc :={g∊ G / ∄ P∊ / P ⊆ 1 ( (g))}, où désigne l'ensemble des polygones réguliers de (nous appelons polygone régulier de l'image par une rotation d'un sous-groupe fermé de autre que {1}). Dans la première partie, nous présentons les principaux résultats et notations utilisés par la suite. Lorsque G est un groupe abélien localement compact, nous prouvons dans la deuxième partie que est uniformément continue si et seulement si est mesurable (L(X) est muni de la topologie de la norme) et si de plus G est à base de topologie dénombrable et fortement continue, nous montrons dans la troisième partie que est uniformément continue si et seulement si n'est pas maigre. De même, nous montrons que est uniformément continue si et seulement si n'est pas négligeable pour la mesure de Haar sur G. Lorsque G est un groupe localement compact et une représentation unitaire de G dans un espace de Hilbert H, nous montrons également dans la deuxième partie que est uniformément continue si et seulement si est mesurable, et si de plus G est métrisable et fortement continue, nous prouvons dans la troisième partie que est uniformément continue si et seulement si {g∊ G / 0∉ Conv( ( (g)))} n'est pas maigre, où Conv(S) désigne l'enveloppe convexe d'une partie quelconque S dans un espace vectoriel.


  • Résumé

    Let L(X) be the algebra of all bounded operators on a Banach space X, and let :G⇾L(X) be a representation of a topological group G in X. For every element g in the group G, we consider the projection on the unit circle of the spectrum ( (g)) of the invertible operator (g), so we set 1 ( (g)):={ /| |, ∊ ( (g))}, and we consider the set of all elements g in the group G such that 1 ( (g)) does not contain any regular polygon of, so we set :={g∊ G / ∄ P∊ / P ⊆ 1 ( (g))}, where denotes the set of regular polygons of (we call regular polygon in the image by a rotation of a closed subgroup of different from {1}). In the first part, we set out the principal results and notations subsequently used. When G is a locally compact abelian group, we prove in the second part that is uniformly continuous if and only if is measurable (L(X) is equipped with the norm topology) and if more G is second countable and strongly continuous, we state in the third part that is uniformly continuous if and only if is non meager. In the same way, we show that is uniformly continuous if and only if is a non null set for the Haar measure on G. When G is a locally compact group and a unitary representation of G in a Hilbert space H, we show also in the second part that is uniformly continuous if and only if is measurable, and if more G is metrizable and strongly continuous, we prove in the third part that is uniformly continuous if and only if {g∊ G / 0∉ Conv( ( (g)))} is non meager, where Conv(S) denotes the convex hull of any subset S in a vector space.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (86 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 53 ref. bibliogr.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Corse (Corte, Haute-Corse). Service commun de la documentation.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TH TOM
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.