Théorie de l'information, séries de Dirichlet, et analyse d'algorithmes

par Mathieu Roux

Thèse de doctorat en Informatique et applications

Sous la direction de Brigitte Vallée et de Driss Essouabri.

Soutenue en 2011

à Caen .


  • Résumé

    En théorie de l’information, l’étude d’une source et des principales structures de données associées, repose sur sa série de Dirichlet; il est essentiel d’en étudier la discipline, c’est-à-dire de trouver une région à gauche de sa singularité dominante, où elle est analytique et de croissance polynomiale. C’est une étape centrale dans l’analyse précise et réaliste de la complexité des principaux algorithmes de texte sur des mots produits aléatoirement par la source. Mon travail porte sur la classe des sources dynamiques, dont la série de Dirichlet s’exprime en fonction d��un opérateur de transfert du système dynamique, dit « sécant », qui généralise l’opérateur « tangent » usuellement utilisé, et dont on est alors ramenés à étudier les spectres. Dolgopyat a obtenu des conditions suffisantes de nature diophantienne sur le système dynamique, qui montrent qu'une région de discipline de l’opérateur tangent, pour un alphabet fini, est de forme hyperbolique. Dans cette thèse, j’opère une double extension des résultats de Dolgopyat, à la fois vers l’opérateur sécant et vers un alphabet infini. De plus, pour des sources sans mémoire, j’obtiens une région de discipline optimale. Je présente aussi une version d'un célèbre théorème taubérien avec reste, dû à Landau, avec des hypothèses épurées. Ce théorème est valable pour les séries de Dirichlet à termes positifs, et permet d’obtenir une bande verticale de discipline. J’obtiens deux généralisations: une pour des séries à termes quelconques, et l'autre pour une région de discipline hyperbolique.

  • Titre traduit

    Information theory, Dirichlet series, and analysis of algorithms


  • Résumé

    In information theory, the study of a source and its main associated data structures is based on its Dirichlet series; it is essential to study its discipline, namely, to find a region to the left of its dominant singularity where it is analytic and of polynomial growth. It is a central step in the accurate and realistic complexity analysis of the principal text algorithms on words randomly generated by the source. My work deals with the class of dynamical sources, whose Dirichlet series is expressed in terms of a transfer operator of the dynamical system called "secant", which generalizes the "tangent" operator usually used, and whose spectra we are then led to study. Dolgopyat obtained sufficient conditions of Diophantine type on the dynamical system, showing that a discipline region of the tangent operator for a finite alphabet has hyperbolic shape. In this thesis, I extend Dolgopyat's results in two ways: by using the secant operator and by considering an infinite alphabet. In addition, for memoryless sources I get an optimal area of discipline. I also present a version of a famous Tauberian theorem with remainder, due to Landau, with refined hypotheses. This theorem is valid for Dirichlet series with non-negative terms, and allows one to obtain a vertical strip of discipline. I obtain two generalizations: for series with arbitrary terms, and for series with hyperbolic regions of discipline.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (326 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 323-326

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  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque universitaire Sciences - STAPS.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2011-52
  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque universitaire Sciences - STAPS.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2011-52bis
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