Problème de Stokes avec des conditions aux limites non-linéaires : analyse numérique et algorithmes de résolution

par Mohamed Khaled Gdoura

Thèse de doctorat en Mathématiques et leurs interactions

Sous la direction de Taoufik Sassi et de Nabil Gmati.

Soutenue en 2011

à Caen .


  • Résumé

    Ce travail est un premier pas dans l’analyse math´ematique des probl`emes li´es `a la simulation du remplissage du moule par un polym`ere fondu en tenant compte de l’´eventuel glissement sur les parois solides. Notre travail est focalis´e sur le probl`eme de Stokes avec des conditions aux limites de type Tresca vue que les r´esultats d’analyse num´erique de ce type de probl`emes sont tr`es rares. Dans la premi`ere partie on commence d’abord par ´ecrire le probl`eme primal sous forme d’une in´equation variationnelle. Le terme de frottement apparait sous forme d’une fonction non-diff´erentiable. On propose par la suite une formulation mixte `a trois champs dans laquelle on dualise le frottement et on impose div(u) = 0 `a l’aide du multiplicateur de Lagrange p s’identifiant `a la pression. L’existence et l’unicit´e de la solution de cette formulation est garantie par une condition inf-sup continue qu’on prouve. Les ´el´ements finis P1 bulle/P1 pour le champs (u, p) et P1 pour le multiplicateur d´efinit sur le bord de Tresca ont permis de discr´etiser le probl`eme r´esultant. On montre que des conditions inf-sup discr`etes découplées sur le pression p et la contrainte tangentielle sont suffisantes pour la stabilit´e du probl`eme discret. Des estimations d’erreurs optimales ont ´et´e d´eriv´ees. La deuxi`eme partie porte sur l’estimation de la valeur optimale des p´enalit´es des algorithmes utilis´es, connus respectivement dans la litt´erature sous le nom ALG2 et ALG3. L’´equivalence entre les m´ethodes de directions altern´ees et la formulation en lagrangien augment´e a permis de r´e´ecrire les algorithmes sous forme d’un probl`eme d’´evolution dual discr´etis´e en temps par un sch´ema de splitting classique mettant en jeu des op´erateurs multivoques maximaux monotones. On montre d’abord la convergence dans le cas continu des deux algorithmes vers la solution stationnaire du probl`eme d’´evolution. On d´eduit par la suite la valeur optimale de la p´enalit´e de chaque algorithme `a partir de l’estimation de sa vitesse de convergence. La derni`ere partie porte sur deux m´ethodes de d´ecomposition de domaine bas´ees sur les algorithmes d’Uzawa appliqu´es au probl`eme de d´epart. Des tests num´eriques ont ´et´e r´ealis´es et un pr´econditionneur a ´et´e proposé pour la deuxième approche.

  • Titre traduit

    Stokes problem with nonlinear boundary conditions : numerical analysis& resolution algorithms


  • Résumé

    This work is a first step in the analysis of mathematical problems arising from numerical simulation of mold filling process by polymer melt which can slip on solid wall. We focus on Stokes problem with Tresca boundary conditions since numerical analysis of such problem is rare. In the first part of the manuscript we begin by setting the primal problem written as a variational inequality. The friction term is presented by a nondifferential function. Then, we propose a three field mixed formulation in which friction is dualized and div(u) = 0 is forced by the Lagrange multiplier p identified to the pressure. Existence and uniqueness of the solution of such formulation is guaranteed by continuous inf-sup condition that we prove. P1 bubble-P1 finite element for (u, p) and P1 for , defined on the Tresca boundary, are used to discretize the resulting problem. We prove that only two uncoupled discrete inf-sup conditions on the pressure p and the shear stress are sufficient to ensure the stability of the discrete problem. Optimal error estimates are derived. The second part is devoted to the estimation of the optimal value of relaxation parameters in the used algorithms, known as ALG2 & ALG3. Using equivalence between alternating-direction methods and augmented Lagrangian formulation, we write ALG2 & ALG3 as a dual evolution problem discretized by some classical splitting scheme involving multivalued maximal monotone operators. We prove the convergence of the algorithms, in continuous case, to the steady state solution of the dual evolution problem and we deduce the optimal value of relaxation parameters after stimating the rate convergence of the two algorithms. In the last part, we present two domain decomposition methods based on Uzawa algorithms to solve Stokes problem with slip boundary conditions. Numerical tests are carried out and a preconditioner is proposedfor the second approache.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (92 p.)
  • Annexes : Bibliogr.p. 87-92

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  • Bibliothèque : Université de Caen Normandie. Bibliothèque universitaire Sciences - STAPS.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : TCAS-2011-21
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