Schémas asynchrones pour des EDPs et génération de surfaces aléatoires à l'aide de groupes localisés

par Zakaria Belemaalem

Thèse de doctorat en Sciences et technologies de l'information et de la communication

Sous la direction de Jacques Tisseau et de Marc Parenthoën.

Soutenue en 2011

à Brest .

mots clés

• Groupe de vagues
• Spectre déshabillé
• Modélisation hydrodynamique
• Hydrodynamique -- Modèles mathématiques
• Équations aux dérivées partielles

Résumé

L'étude menée dans ce mémoire propose une représentation originale d’un champ de vague aléatoire afin de respecter les contraintes statistiques sur la fonction caractéristique en un point (variance, coefficients d’asymétrie skewness et d’aplatissement kurtosis), mais également en deux points (spectre, pente). La modélisation proposée considère l’élévation de la surface océanique comme une superposition de fonctions spatiales aléatoires, et d’amplitudes aléatoires, regroupées en un certain nombre de nappes en fonction du vecteur d’onde. Cette démarche aboutit à la construction de deux modèles nommés “Groupy Wave Model” (GWM) et “Groupy Chopy Wave Model” (GCWM). Le premier permet le contrôle du spectre, skewness (des hauteurs et des pentes) et kurtosis (des hauteurs ou des pentes). Le dernier prend en compte les mouvements orbitaux des particules d’eau. Le modèle GCWM est vu comme un changement de coordonnées horizontales de la surface du modèle GWM pour le peuplement d’une surface. Cette transformation habille le spectre des hauteurs et fait apparaître des points de rebroussement. Une méthode permettant de “déshabiller” le spectre afin d’obtenir une surface avec un spectre voulu, ainsi qu’une proposition pour tenir compte des points de rebroussement sont aussi introduites. Les résultats obtenus soulignent un large éventail de différentes structures de l’état de mer, tout en respectant les mêmes contraintes statistiques.

Titre traduit

Asynchronous schemes for PDEs and generation of random surfaces using localized groups

Résumé

The study in this thesis proposes an original representation of a random wave field. The main goal is to respect the statistical constraints on a one-point characteristic function (variance, skewness and kurtosis) and also, at a two-point characteristic function (spectrum and slope). The proposed model considers the elevation of the ocean surface as a superposition of random spatial functions with the random amplitudes, grouped into maps depending on the wave vector. This approach leads to the construction of two models, so called “Groupy Wave Model” (GWM) and “Groupy Chopy Wave Model” (GCWM). The first allows the control of the spectrum, skewness (elevations and slopes) and kurtosis (elevations or slopes). The latter takes into account the orbital motions of water particles. The OGWM model is derived from horizontal coordinates of GWM surface. This transformation dresses the spectrum and shows cusps. A method of undressing the spectrum to obtain a surface with a target spectrum, which takes into account the cusps, is also introduced. The obtained results emphasize very different sea state structures, but with identical statistical properties.