Centres de Daugavet et opérateurs de composition à poids

par Romain Demazeux

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pascal Lefèvre.

Soutenue le 24-11-2011

à l'Artois , dans le cadre de ED Sciences pour l'ingénieur (n°72) .

Le jury était composé de Pascal Lefèvre, Gilles Godefroy, Dirk Werner, Karim Kellay, Sophie Grivaux, Etienne Matheron, Gilles Lancien.

Les rapporteurs étaient Gilles Godefroy, Dirk Werner.


  • Résumé

    Le propos de cette thèse est l’étude de la norme ||G+T|| d’une perturbation compacte d’un opérateur G agissant entre des espaces de Banach. Dans un premier temps nous abordons le problème du point de vue de la propriété de Daugavet : un opérateur G un centre de Daugavet si tout opérateur T de rang 1 (ou de manière équivalente tout opérateur compact) vérifie ||G+T||=||G||+||T||. Dans le premier chapitre, nous donnons des exemples de centres de Daugavet parmi les opérateurs de composition à poids agissant sur certains espaces de fonctions, comme par exemple l’espace C(K) des fonctions continues sur un compact parfait K, l’algèbre du disque, ou encore l’espace des fonctions lipschitziennes sur un espace métrique complet. Dans le second chapitre, nous étudions une propriété un peu plus faible, à savoir que l’équation ||G+T||=||G||+||T|| ne soit plus satisfaite que pour une certaine classe d’opérateurs de rang 1, et nous appelons alors un tel opérateur G un presque centre de Daugavet. Nous donnons une caractérisation des presque centres de Daugavet en terme de l1-type canonique et d’épaisseur de l’opérateur G. Ceci nous permet alors d’obtenir une caractérisation des opérateurs qui fixent une copie de l’espace l1.Le point de vue du dernier chapitre est différent : on ne cherche plus à trouver G qui « maximise » la norme de G+T pour tout opérateur compact T, mais à trouver un opérateur compact T qui minimise ||G+T||. En d’autres termes, on cherche à évaluer la norme essentielle de G. Nous complétons certains résultats obtenus dans le cadre des opérateurs de composition à poids agissant entre différents espaces de Hardy.

  • Titre traduit

    Daugavet centers and weighted composition operators


  • Résumé

    This thesis is about the study of the norm ||G+T|| of a compact perturbation of an operator G acting between Banach spaces. We first use the Daugavet property’s point of view: an operator G is a Daugavet center if every rank-1 operator (or equivalently every compact operator) T satisfies ||G+T||=||G||+||T||. In the first chapter we exhibit some examples of Daugavet centers among the set of weighted composition operators acting on function spaces, such as the space C(K) of continuous functions on a perfect compact space K, the disk algebra, or the space of Lipschitz functions on a complete metric space. In the second chapter we study a weaker property, that is to say the equation ||G+T||=||G||+||T|| is now fulfilled for a smaller class of rank-1 operators, and such an operator G is called an almost Daugavet center. We give a characterization of almost Daugavet centers in terms of canonical l1-type and thickness of the operator G. This leads to a characterization of the class of operators fixing a copy of l1.The last chapter’s point of view is quite different: we do not look anymore for a G that “maximizes” the norm of G+T for every compact operator T, but we try to find a compact operator T that minimizes ||G+T||. In other words, we want to estimate the essential norm of G. We complete some results concerning weighted composition operators acting between different Hardy spaces.


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