Composition asymptotique de processus d'urne de Pólya et applications à l'algorithmique

Asymptotic composition of Polya urn processes and algorithmic applications

• Auteur / Autrice : Réda Sahnoun
• Direction : Nicolas Pouyanne
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Versailles-St Quentin en Yvelines

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés algébriques

Processus stochastiques

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Arbres (théorie des graphes)

Distribution asymptotique (théorie des probabilités)

Résumé

Les processus de Pólya sont des marches aléatoires à temps discret dans R^d, généralisations naturelles des urnes de Pólya-Eggenberger. Dans ce dernier modèle, une urne peut contenir des boules de d couleurs différentes, et une matrice (déterministe) à coefficients entiers relatifs décrit les règles de remplacement après chaque tirage. De nombreuses situations issues de l'informatique (structures arborescentes) ou de la physique théorique (percolation, fragmentation) se modélisent par ces objets. Le comportement asymptotique de ces processus fait apparaître une famille de nouvelles lois de probabilité, certaines d'entre elles sont déterminées par leurs moments; tandis que pour d'autre, la série génératrice des moments diverge. Ceci témoigne de la richesse de ce modèle, cependant, les cas étudiés permettent de dégager la combinatoire complexe du cas général.

Polya processes are discrete-time random walks in R^d, natural generalizations of Pólya-Eggenberger urns. In this latter model, a urn may contain balls of different colors and a matrix (deterministic) with integer coefficients describes the rules for replacement after each draw. Many situations from the computer sciences (tree structures) or theoretical physics (percolation fragmentation) are modeled by these objects. The asymptotic behavior of these processes reveals a new family of probability laws, some of them are determined by their moments, while for the other, the exponential generating function of moments diverges. This attests to the richness of this model, however, the cases reviewed permit to identify the complex combinatorics of the general case.