Approximation de haute précision des problèmes de diffraction

par Sophie Laurens

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pierre-Alain Mazet.

Soutenue en 2010

à Toulouse 3 .


  • Résumé

    Cette thèse examine deux façons de calculer avec précision les solutions de problèmes de propagation d'ondes diffractées par un obstacle borné : la diminution des domaines de calcul à l'aide de milieux fictifs absorbants permettant l'adjonction de conditions aux limites exactes et la recherche d'une nouvelle approximation spatiale sous forme polynomiale donnant lieu à des schémas explicites où la stabilité est indépendante de l'ordre choisi. La première méthode est de réduire le domaine de calcul autour de domaines non nécessairement convexes, à l'aide de la méthode des Perfectly Matched Layers. Il faut alors considérer des domaines d'exhaustion difféomorphes a�� des convexes avec des hypothèses "presque" nécessaires. Pour les Equations de type Maxwell et Ondes, l'existence et l'unicité sont montrées dans tout l'espace et en domaine artificiellement borné, tant en fréquentiel qu'en temporel. La décroissance est analysée localement et asymptotiquement et des simulations numériques sont proposées. La deuxième méthode est une alternative à l'approximation de type Galerkin Discontinu, inspirée des résultats de régularité de J. Rauch, présentant l'avantage de conserver une condition CFL de type Volumes Finis indépendante de l'ordre d'approximation, aussi bien pour des maillages structurés que déstructurés. La convergence de cette méthode est démontrée via la consistance et la stabilité, grâce au théorème d'équivalence de Lax-Richtmyer pour des domaines structurés. En déstructuré, la consistance ne pouvant plus s'établir au moyen de la formulation de Taylor, la convergence n'est plus assurée, mais les premiers tests numériques bidimensionnels donnent d'excellents résultats.

  • Titre traduit

    High-accuracy approximation for diffraction problems


  • Résumé

    This work is about the high-accuracy study of waves diffracted by a bounded obstacle. Two aspects are considered : the reduction of the computational domain thanks to fictive absorbing media and the research of a new high-order explicit approximation whose stability is independent of the order of spatial approximation chosen. First, we consider the reduction of the computational domain by the Perfectly Matched Layers (PML) around non necessarily convex domains sets (but typical of scattering problems, meaning no trapping). Exhaustion domains diffeomorphic to convex are considered with almost necessary hypotheses. For Maxwell or waves equations, the existence and uniqueness are demonstrated in all the space and in artificially bounded domains, for both harmonic and unsteady problems. The decay is analyzed locally and asymptotically, and some numerical simulations are performed. The second part of the work is an alternative to the Discontinuous Galerkin methods, inspired by the J. Rauch regularity results. Its advantage is to preserve a CFL condition, such as the one for the Finite Volumes methods, independently of the order of approximation, for structured meshes as well as for unstructured ones. The convergence of this method is proven through consistancy and stability, thanks to the Lax-Richtmyer theorem, for structured meshes. For unstructured ones, the consistancy can no longer be established by the Taylor formula, so convergence is not guaranteed anymore, but the first bidimensional numerical experiments give excellent results.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (181 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 179-181

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2010 TOU3 0079
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