Automorphismes projectifs et polynômes binaires irréductibles

par Philippe Ravache

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Jean-Francis Michon.

Soutenue en 2010

à l'Université de Rouen .


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l'étude de certaines propriétés structurelles de l'ensemble des polynômes irréductibles à coefficients dans F2. La première partie classifie ces polynômes par rapport à l'action du groupe des automorphismes de la droite projective P1(F2), à savoir PGL2(F2) S3. Nous btenons quatre familles de polynômes invariants par l'action des quatre sous-groupes non triviaux de S3, ce qui généralise la notion de polynôme réciproque. De plus, nous donnons une formule de dénombrement qui complète celle de Carlitz (qui a traité le cas réciproque). Dans la seconde partie, nous donnons des transformations permettant de générer nos polynômes invariants ainsi que le théorème général décrivant leur action précise sur les polynômes irréductibles. Cela donne deux partitions différentes par des relations simples sur leurs coefficients. Nous proposons également des moyens de construire des suites infinies explicites d'irréductibles invariants en généralisant ce qui existait pour les réciproques. Dans la troisième partie, nous étudions plus en détail nos transformations. En particulier, nous retrouvons deux d'entre elles au travers d'opérations sur les points de deux courbes elliptiques.

  • Titre traduit

    Projective automorphisms and irreductible binary polynomials


  • Résumé

    This Ph. D. Is a study of some structural properties of the set of irreducible polynomials with coefficients in F2. The first part classify these polynomials under the action of the automorphisms group of the projective line P1(F2), i. E. PGL2(F2) S3. We obtain four families of invariant polynomials under each non trivial subgroup of S3, which generalize the notion of self-reciprocal polynomials. Moreover, we give an enumeration formula that completes Carlitz' one (which concerns the self-reciprocal polynomials). In the second part, we give transformations that generate our invariant polynomials and the general theorem describing their action on the irreducible polynomials. That gives two different partitions by easy relations on their coefficients. We also propose ways to construct infinite sequences of irreducible invariant polynomials, generalizing what was known for self-reciprocal polynomials. In the third part, we study more deeply our transformations. In particular, we show that we can find two of them through operations on the points of two elliptic curves.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (100 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 99-100. [26] réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rouen. Service commun de la documentation. Section sciences site Madrillet.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 10/ROUE/S027
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