Équations intégrales volumiques pour la diffraction d’ondes électromagnétiques par un corps diélectrique

Volume integral equations for electromagnetic scattering by a dielectric body

• Auteur / Autrice : El Hadji Koné
• Direction : Martin Costabel, Éric Darrigrand
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2010
• Etablissement(s) : Rennes 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, télécommunications, informatique, signal, systèmes, électronique (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Maxwell, Équations de

Diélectriques

Intégrales singulières

Équations intégrales

Ondes électromagnétiques

Résumé

Ce travail est dévolu à l’étude de la diffraction d’ondes électromagnétiques par un corps diélectrique. Des équations de Maxwell, nous dérivons deux formulations intégrales. L’une est une équation intégrale volumique à noyau fortement singulier et l’autre, une équation intégrale couplée surface-volume à noyau faiblement singulier. Ces deux formulations sont analysées, à l’aide des résultats standard de Fredholm, en considérant une permittivité discontinue à travers le bord du diélectrique. Cette hypothèse est plus réaliste et permet de prendre en compte des matériaux composés de différentes couches diélectriques. L’équation intégrale volumique est ensuite résolue numériquement. A cette fin, nous avons développé une méthode pour traiter les singularités de l’opérateur intégral volumique. Cette méthode de traitement des singularités est une méthode de changements de variables faisant appel aux transformations de Duffy et elle peut s’appliquer à une classe plus grande d’opérateurs intégraux. La méthode et l’équation intégrale volumique sont implémentées dans le code Mélina++ qui est une librairie d’éléments finis développée au sein de l’Institut de Recherche Mathématique de Rennes. Quelques résultats de tests numériques viennent, enfin, compléter le travail.

We are concerned with studying the electromagnetic scattering by a dielectric body. From Maxwell equations, we derived two integral formulations. One is a volume integral equation with a strongly singular kernel and the other one is a coupled surface-volume integral equation with weakly singular kernel. Assuming a discontinuous electric permittivity across the dielectric boundary, the two formulations are analyzed using standard Fredholm properties. The hypothesis of discontinuity for the electric permittivity is more realistic and moreover it enables composite dielectric materials with several surfaces of discontinuity. The volume integral equation is then solve numerically. To this end, we developed a method to handle the singularities in the kernel of the volume integral operator. This method of treatment of singularities is based on changes of variables involving Duffy's transformations and it can be applied to a wide class of integral operators. The method and the volume integral equation are implemented in the Mélina++ code which is a finite element library developed within the mathematical research institut of Rennes. We complete the work with some numerical tests results.