Free entropies, free Fisher information, free stochastic differential equations, with applications to Von Neumann algebras

par Yoann Dabrowski

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Dimitri Shlyakhtenko.

Le président du jury était Sorin Popa.

Le jury était composé de Dimitri Shlyakhtenko, Philippe Biane, Terence Tao.

Les rapporteurs étaient Dan Virgil Voiculescu, Alice Guionnet.

  • Titre traduit

    Sur quelques propriétés des entropies libres, de l'Information de Fisher libre et des équations différentielles stochastiques libres avec des applications aux algèbres de Von Neumann


  • Résumé

    Ce travail étend nos connaissances des entropies libres et des équations différentielles stochastiques (EDS) libres dans trois directions. Dans un premier temps, nous montrons que l'algèbre de von Neumann engendrée par au moins deux autoadjoints ayant une information de Fisher finie n'a pas la propriété $Gamma$ de Murray et von Neumann. C'est un analogue d'un résultat de Voiculescu pour l'entropie microcanonique libre. Dans un second temps, nous étudions des EDS libres à coefficients opérateurs non-bornés (autrement dit des sortes d' EDP stochastiques libres ). Nous montrons la stationnarité des solutions dans des cas particuliers. Nous en déduisons un calcul de la dimension entropique libre microcanonique dans le cas d'une information de Fisher lipschitzienne. Dans un troisième et dernier temps, nous introduisons une méthode générale de résolutions d'EDS libres stationnaires, s'appuyant sur un analogue non-commutatif d'un espace de chemins. En définissant des états traciaux sur cet analogue, nous construisons des dilatations markoviennes de nombreux semigroupes complètement markoviens sur une algèbre de von Neumann finie, en particulier de tous les semigroupes symétriques. Pour des semigroupes particuliers, par exemple dès que le générateur s'écrit sous une forme divergence pour une dérivation à valeur dans la correspondance grossière, ces dilatations résolvent des EDS libres. Entre autres applications, nous en déduisons une inégalité de Talagrand pour l'entropie non-microcanonique libre (relative à une sous-algèbre et une application complètement positive). Nous utilisons aussi ces déformations dans le cadre des techniques de déformations/rigidité de Popa


  • Résumé

    This works extends our knowledge of free entropies, free Fisher information and free stochastic differential equations in three directions. First, we prove that if a $W^{*}$-probability space generated by more than 2 self-adjoints with finite non-microstates free Fisher information doesn't have property $Gamma$ of Murray and von Neumann (especially is not amenable). This is an analogue of a well-known result of Voiculescu for microstates free entropy. We also prove factoriality under finite non-microstates entropy. Second, we study a general free stochastic differential equation with unbounded coefficients (``stochastic PDE"), and prove stationarity of solutions in well-chosen cases. This leads to a computation of microstates free entropy dimension in case of Lipschitz conjugate variable. Finally, we introduce a non-commutative path space approach to solve general stationary free Stochastic differential equations. By defining tracial states on a non-commutative analogue of a path space, we construct Markov dilations for a class of conservative completely Markov semigroups on finite von Neumann algebras. This class includes all symmetric semigroups. For well chosen semigroups (for instance with generator any divergence form operator associated to a derivation valued in the coarse correspondence) those dilations give rise to stationary solutions of certain free SDEs. Among applications, we prove a non-commutative Talagrand inequality for non-microstate free entropy (relative to a subalgebra $B$ and a completely positive map $eta:Bto B$). We also use those new deformations in conjunction with Popa's deformation/rigidity techniques, to get absence of Cartan subalgebra results

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