Stochastic Optimization Problems with Knapsack Constraint

par Stefanie Kosuch

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Abdel-Ilah Lisser.

Soutenue en 2010

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

  • Titre traduit

    Problèmes d’Optimisation Stochastique avec Contrainte de Sac-à-Dos


  • Résumé

    Etant donné un ensemble d'objets, chacun ayant un poids et une valeur. Le problème de sac-à-dos consiste à choisir un sous-ensemble d'objets qui (i) respecte une certaine restriction du poids (la capacité du sac-à-dos) et (ii) dont la valeur totale est maximisée. Dans cette thèse nous étudions quatre problèmes d'optimisation stochastique avec contrainte de sac-à-dos: le problème de sac-à-dos avec recours simple, le problème de sac-à-dos avec contrainte probabiliste, le problème de sac-à-dos avec recours et un problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste. Les problèmes ont en commun que les poids dans la contrainte de sac-à-dos sont supposés être aléatoires. Nous proposons de résoudre les problèmes du sac-à-dos avec recours simple ou avec contrainte probabiliste en appliquant un algorithme « branch-and-bound ». Des bornes supérieures sont obtenues en résolvant des relaxations continues. Pour ceci, nous appliquons un algorithme de gradient stochastique. Concernant le cas du sac-à-dos avec recours, nous traitons dans un premier temps le problème avec des poids gaussiens et nous proposons des bornes inférieures et supérieures sur sa valeur optimale. Dans un deuxième temps, nous étudions le cas d’une distribution discrète des poids. Nous montrons que (si P n'est pas égal à NP) le problème déterministe équivalent n’admet pas d’algorithme d’approximation avec une garantie de performance égale à une valeur constante. Le problème bi-niveau stochastique avec contrainte de sac-à-dos probabiliste est d’abord reformulé comme un problème bilinéaire. Ce dernier étant difficile à résoudre à l’optimum, nous proposons de résoudre une relaxation avec un nouvel algorithme itératif.


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    Given a set of objects each having a particular weight and value. The knapsack problem consists of choosing among these items a subset such that (i) the total weight of the chosen items does respect a given weight constraint (the capacity of the knapsack) and (ii) the total value of the chosen items is maximized. In this thesis, we study four stochastic optimization problems with knapsack constraint: the simple recourse knapsack problem, the chance-constrained knapsack problem, the two-stage knapsack problem and a bilievel problem with knapsack chance-constraint. All problems have in common that the item weights in the knapsack constraints are assumed to be random. We propose to solve the simple recourse and the chance-constrained knapsack problems using a branch-&-bound algorithm as framework. Upper bounds are obtained by solving relaxed, i. E. Continuous sub-problems. The latter is done by applying a stochastic gradient algorithm. Concerning the two-stage knapsack problem, we treat, in the first instance, the model where the item weights are assumed to be normally distributed and propose upper and lower bounds on the optimal solution value. Then, we study the problem with discretely distributed weights and show that its deterministic equivalent reformulation does not admit a constant factor approximation algorithm unless P=NP. The studied bilevel problem with knapsack chance-constraint is first of all reformulated as a deterministic equivalent bilinear problem. As the latter is generally hard to solve exactly, we propose to solve a relaxation using a novel iterative algorithm.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (170 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 155-170

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