Enumération de tableaux et de chemins, moments de polynômes orthogonaux

par Matthieu Josuat-Vergès

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Sylvie Corteel.


  • Résumé

    Le domaine de cette thèse est la combinatoire énumérative et bijective, et en particulier la combinatoire des polynômes orthogonaux et des fractions continues. Ce travail est aussi en relation avec un modèle de physique statistique, le processus d'exclusion asymétrique (PASEP). Dans un premier temps, nous parcourons les diverses interprétations combinatoires des moments de polynômes orthogonaux. Inspirés par une méthode apparue dans le cadre du PASEP, nous montrons que ces moments sont dans de nombreux cas des séries génératrices de certains tableaux. Nous obtenons ainsi une nouvelle interprétation combinatoire des polynômes de Dumont-Foata. Ensuite, nous étudions les chemins pondérés appelés histoires de Laguerre, qui sont en bijection avec les permutations et dont la combinatoire est très riche. Nous obtenons grâce à ces chemins diverses identités et interprétations combinatoires pour des q-analogues des nombres d'Euler et des nombres de Genocchi, ainsi que la fonction de partition du PASEP. Enfin, nous présentons plusieurs méthodes permettant de prouver bijectivement des formules closes pour des moments de polynômes orthogonaux et leurs q-analogues. Ces formules closes sont du type de celle de Touchard-Riordan (moments de q-Hermite), et sont prouvés en utilisant les chemins pondérés ou certains tableaux comme les placements de tour. Nous montrons ainsi qu'il existe des formules de nature similaire pour les moments de polynômes de q-Laguerre, q-Charlier, Al-Salam-Chihara.

  • Titre traduit

    Enumération of tableaux and paths, moments of orthogonal polynomials


  • Résumé

    The field of this thesis is enumerative and bijective combinatorics, and in particular the combinatorics of orthogonal polynomials and continued fractions. This work is also related with a model of statistical physics, the asymmetric exclusion process (PASEP). First, we review the various combinatorial interpretations for moments of orthogonal polynomials. Inspired by a method appeared in the PASEP context, we show that these moments are often generating functions of certain tableaux. We get with this method a new combinatorial interpretation of Dumont-Foata polynomials. Then, we study the weighted paths called Laguerre histories, which are in bijection with permutations and whose combinatorics is quite rich. Using these paths, we obtain various identities and combinatorial interpretations for q-analogs of Euler numbers, Genocchi, numbers, and also for the PASEP partition function. Finally, we give several methods to prove bijectively closed formulas for the moments of orthogonal polynomials and their q-analogs. These formulas are of Touchard-Riordan type (q-Hermite moments), and are proved using the weighted paths or some tableaux such as rook placements. We show this way that there are formulas of similar nature for the moments of q-Laguerre, q-Charlier, Al-Salam- Chihara polynomials.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (VI-120 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 113-118. Index

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(2010)24
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