Geodesics and PDE methods in transport models

par Lorenzo Brasco

Thèse de doctorat en Mathématiques de la décision

Sous la direction de Giuseppe Buttazzo et de Guillaume Carlier.


  • Résumé

    Cette thèse est dédiée à l'étude des problèmes de transport optimal, alternative au problème de Monge-Kantorovich : ils apparaissent naturellement dans des applications pratiques, telles que la conception des réseaux de transport optimal ou la modélisation des problèmes de circulation urbaine. En particulier, nous considérons des problèmes où le coût du transport a une dèpendance non linèaire de la masse : typiquement dans ce type de problèmes, le coût pour déplacer une masse m pour une longueur ℓ est φ (m) ℓ, où φ est une fonction assignée, obtenant ainsi un coût total de type Σ φ (m) ℓ. Deux cas importants sont abordés en détail dans ce travail : le cas où la fonction φ est subadditive (transport ramifié), de sorte que la masse a intérêt à voyager ensemble, de manière à réduire le coût total; le cas où φ est superadditive (transport congestionné), où au contraire, la masse tend à diffuser autant que possible. Dans le cas du transport ramifié, nous introduisons deux nouveaux modèles: dans le premièr, le transport est décrit par des courbes de mesures de probabilité que minimisent une fonctionnelle de type géodésique (avec un coefficient que pénalise le mesures qui ne sont pas atomiques). Le second est plus dans l'esprit de la formulation de Benamou et Brenier pour les distances de Wasserstein, en particulier, le transport est décrit par paires de ``courbe de mesures--champ de vitesse'', liées par l'équation de continuité, qui minimisent une énergie adéquate (non convexe). Pour les deux modèles, on démontre l'existence de configurations minimales et l'équivalence avec d'autres formulations existantes dans la littèrature. En ce qui concerne le cas du transport congestionné, nous passons en revue deux modèles déjà existants, afin de prouver leur équivalence: alors que le premier de ces modèles peut être considéré comme une approche Lagrangienne du problème et il a des liens intéressants avec des questions d'équilibre pour la circulation urbaine, le second est un problème d'optimisation convexe avec contraintes de divergence par La preuve de l'équivalence entre les deux modèles constitue le corps principal de la deuxième partie de cette thèse et contient différents éléments d'intérêt, y compris: la théorie des flots des champs de vecteurs peu réguliers (DiPerna-Lions), la construction de Dacorogna et Moser pour les applications de transport et en particulier les résultats de régularité (que nous prouvons ici) pour une équation elliptique très dégénérés, qui ne semble pas avoir été beaucoup étudiée


  • Résumé

    This thesis is devoted to to the study of optimal transport problems, alternative to the so called Monge-Kantorovich one: they naturally arise in some real world applications, like in the design of optimal transportation networks or in urban traffic modeling. More precisely, we consider problems where the transport cost has a nonlinear dependence on the mass: typically in this type of problems, to move a mass m for a distance ℓ costs φ (m) ℓ, where φ is a given function, thus giving rise to a total cost of the type Σ φ (m) ℓ. Two interesting cases are widely addressed in this work: the case where φ is subadditive (branched transport), so that masses have the interest to travel together in order to lower the total cost; the case of φ being superadditive (congested transport), where on the contrary the mass tends to be as widespread as possible. In the case of branched transport, we introduce two new dynamical models: in the first one, the transport is described through the employ of curves of probabilty measures minimizing a length-type functional (with a weight function penalizing non atomic measures). On the other hand, the secon model is much more in the spirit of the celebrated Benamou-Brenier formulation for Wasserstein distances: in particular, the transport is described by means of pairs ``curve of measures--velocity vector field'', satisfying the continuity equation and minimizing a suitable dynamical energy (which is a non convex one, actually). For both models we prove existence of minimal configurations and equivalence with other modelizations existing in literature. Concerning the case of congested transport, we review in great details two already existing models, proving their equivalence: while the first one can be viewed as a Lagrangian approach to the problem and it has some interesting links with traffic equilibrium issues, the second one is a divergence-constrained convex optimization problem. The proof of this equivalence represents the central core of the second part of the work and contains various points of interest: among them, the DiPerna-Lions theory of flows of weakly differentiable vector fields, the Dacorogna-Moser construction for transport maps and, above all, some regularity estimates (that we derive here) for a very degenerate elliptic equation, that seems to be quite unexplored


  • Résumé

    Questa tesi è dedicata allo studio di problemi di trasporto ottimo, alternativi al cosiddetto problema di Monge-Kantorovich: essi appaiono in modo naturale in alcune applicazioni concrete, come nel disegno di reti ottimali di trasporto o nella modellizzazione di problemi di traffico urbano. In particolare, si considerano problemi in cui il costo di trasporto ha una dipendenza non lineare dalla massa: tipicamente in questo tipo di problemi, muovere una massa m per un tratto di lunghezza ℓ costa φ (m) ℓ, dove φ è una funzione assegnata, dando perciò luogo ad un costo totale del tipo Σ φ (m) ℓ. Due casi significativi vengono ampiamente trattati in questo lavoro: il caso in cui la funzione φ è subadditiva (trasporto ramificato), ragion per cui le masse hanno maggiore interesse a viaggiare insieme, in modo da diminuire il costo totale; il caso in cui φ è superadditiva (trasporto congestionato), dove al contrario la massa tende a diffondersi quanto più possibile. Nel caso del trasporto ramificato, si introducono due nuovi modelli dinamici: nel primo il trasporto è descritto da curve di misure di probabilità che minimizzano un funzionale di tipo geodetico (con un coefficiente penalizzante le misure non atomiche). Il secondo invece è maggiormente nello spirito della formulazione data da Benamou e Brenier per le distanze di Wasserstein: in particolare, il trasporto è descritto per mezzo di coppie ``curva di misure--campo di velocità'', legate dall'equazione di continuità, che minimizzano un'opportuna energia (non convessa). Per entrambi i modelli, si mostra l'esistenza di configurazioni minimali e si prova l'equivalenza con altre formulazioni esistenti in letteratura. Per quanto riguarda il caso del trasporto congestionato, si rivedono in dettaglio due modelli già esistenti, provandone l'equivalenza: mentre il primo di questi modelli può essere visto come un approccio Lagrangiano al problema ed ha interessanti legami con questioni di equilibrio per il traffico urbano, il secondo è un problema di ottimizzazione convessa con vincolo di divergenza. La dimostrazione dell'equivalenza tra i due modelli costituisce il corpo centrale della seconda parte del lavoro e contiene vari elementi di interesse, tra questi: la teoria dei flussi di campi vettoriali poco regolari di DiPerna e Lions, la costruzione di Dacorogna e Moser per mappe di trasporto e soprattutto dei risultati di regolarità (che quivi ricaviamo) per un'equazione ellittica molto degenere, che non sembra essere stata molto studiata

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  • Détails : 1 vol. (178 p.)
  • Annexes : bibliogr. 99 ref. Index

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