Phénomènes d'accrochage et théorie des fluctuations

par Julien Sohier

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Giambattista Giacomin.

Soutenue en 2010

à Paris 7 .


  • Résumé

    Ce travail s'articule en deux parties principales: on illustre d'abord la notion de longueur de corrélation pour des systèmes d'accrochage homogènes proche du point critique en montrant la convergence en loi du système renormalisé vers un sous ensemble fermé aléatoire du segment [0,1] possédant une densité (explicite) par rapport à l'ensemble régénératif d'indice alpha, où alpha est une donnée initiale du modèle. On s'intéresse dans une deuxième partie au problème du mouillage dans une bande; les récompenses/pénalités sont reçues dans une bande de largeur strictement positive fixée, le processus libre étant modélisé par une marche aléatoire S continue centrée de carré intégrable. On montre que le système subit une transition de phase standard de localisation/délocalisation, et on explicite les limites d'échelle du processus renormalisé dans chacune de ces phases. Pour obtenir ces limites d'échelle, on démontre deux résultats indépendants reliés à la théorie des fluctuations pour les marches aléatoires; ceux-ci présentent un intérêt propre et font l'objet des deux dernières parties de la thèse. Le premier concerne le comportement asymptotique de la distribution du lieu du premier temps d'atteinte du demi plan inférieur pour S, où S part d'un point (strictement) situé dans le demi plan supérieur. Notons que cette estimation est uniforme sur l'ensemble des réels négatifs. Le second résultat concerne la convergence en loi dans la limite d'échelle de S conditionnée à être positive, à partir d'un point proche de l'origine et à revenir proche de l'origine. On montre que ce processus converge en loi vers l'excursion brownienne renormalisée.

  • Titre traduit

    On pinning phenomena and random walk fluctuation theory


  • Pas de résumé disponible.


  • Résumé

    This work is made of two main parts: we first illustrate the notion of correlation length for homogeneous pinning models near from criticality by showing the convergence in law of the rescaled System towards a random closed subset of the interval [0,1] having an explicit density with respect to the law of the alpha regenerative set, where alpha is an initial parameter of the model. In a second part, we are interested in a wetting model in a stripe; the rewards/penalties are received in a stripe with fixed positive width, the free process being modeled by a centred square summable random walk S with continuous increments. We show that the System has a standard localization/delocalization phase transition, and we explicit the scaling limits of the System in each of them. To get these scaling limits, we show two independent results which are sharply linked to the theory of fluctuation for random walks; there results have their own interest and compose the last two parts of the thesis. The first one describes the asymptotic behavior of the distribution of the location of the first hitting point of the negative half-plane for S, where S starts from a (fixed) point which is located in the positive half plane. Note that this estimation is uniform over the negative half line. The second result is the convergence in law in the scaling limit of S conditioned to stay positive, to start close from the origin and to come back close to the origin. We show that this process converges in law towards the normalized brownian excursion.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (145 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 61 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2010) 177
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