Sur les infini-groupoïdes de Grothendieck et une variante infini-catégorique

par Dimitri Ara

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Georges Maltsiniotis.

Soutenue en 2010

à Paris 7 .


  • Résumé

    Dans Pursuing Stacks, Grothendieck conjecture l'existence d'une structure algébrique de infmi-groupoïde faible qui encoderait toute l'information homotopique d'un espace topologique. En particulier, on aurait une équivalence de catégories entre un localisé adéquat de la catégorie des infmi-groupoïdes faibles et la catégorie homotopique. Maltsiniotis a remarqué en 2006 que le texte de Grothendieck contient une définition parfaitement précise de infini-groupoïde faible fondé sur la notion de cohérateur. Par ailleurs, Maltsiniotis a introduit une variante de la définition de Grothendieck conduisant à une notion de infini-catégorie faible. Ces deux notions sont le point de départ de cette thèse. D'autres définitions de infini-catégorie faible ont été proposées. Une grande partie de cette thèse est consacrée à la comparaison des infini-catégories de Grothendieck-Maltsiniotis à celle de Batanin-Leinster. Pour cela, on introduit une notion de théorie globulaire homogène au-dessus de la catégorie Thêta de Joyal, et on montre que celle-ci est équivalente à la notion de omega-opérade de Batanin. On montre également, sous une conjecture technique liée à la définition des cohérateurs, que les infini-catégories de Batanin-Leinster sont un cas particulier des infini-catégories de Grothendieck-Maltsiniotis. Dans un deuxième temps, on étudie l'analogue groupoïdale Thêta- de la catégorie Thêta de Joyal. On montre que Thêta- est une catégorie test stricte. En particulier, la catégorie homotopique des préfaisceaux sur celle-ci est équivalente à la catégorie homotopique. Ce résultat est un pas en direction du programme de Maltsiniotis pour démontrer la conjecture de Grothendieck.

  • Titre traduit

    On Grothendieck's infinity-groupoids and an infinity-categorical variant


  • Résumé

    In Pursuing Stacks, Grothendieck conjectures the existence of an algebraic structure of weak infmity-groupoid which would encode the whole homotopical information of a topological space. In particular, we would have an equivalence of categories between an appropriate localisation of the category of weak infinity-groupoids and the homotopy category. Maltsiniotis noticed in 2006 that Grothendieck's text actually contains a definition of weaked infinity-groupoid based on the notion of coherator. Besides, Maltsiniotis introduced a variant of Grothendieck's definition which leads to a notion of weak infinity-category. Thèse two notions are the starting point of this thesis. Other definitions of weak infinity-category have been proposed. The main part of this thesis is dedicated to the comparison of Grothendieck-Maltsiniotis's infinity-categories to Batanin-Leinster's one. For this purpose, we introduce a notion of homogeneous globular theory over Joyal's category Thêta, and we show that it is equivalent to the notion of Batanin's omega-operad. We also show, under a technical conjecture related to the definition of coherators, that Batanin-Leinster's weak infinity-categories are a special case of Grothendieck-Maltsiniotis infinity-categories. In a second part, we study the groupoidal version Thêta- of Joyal's category Thêta. We show that Thêta- is strict test category. In particular, the homotopy category of presheaves on it is equivalent to the homotopy category. This result is a step toward Maltsiniotis's strategy to prove Grothendieck's conjecture.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (167 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : 42 réf.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TS (2010) 115
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