Modélisation biologique et étude qualitative de quelques exemples d'équations aux dérivées partielles

par Mohamed Abderrahman Ebde

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Hatem Zaag.

Soutenue en 2010

à Paris 6 .


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à quelques cas de modélisation mathématique pour la biologie et à l'étude qualitative de quelques équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'une équation de la chaleur non linéaire avec une structure de gradient. Nous utilisons les variables auto-similaires pour la construction une solution qui explose en temps fini. Nous montrons sa stabilité par rapport à des perturbations dans les données initiales. Enfin, nous donnons son profil à l'explosion. La deuxième partie est consacrée a l'étude du modèle de Keller-Segel (KS) pour les mouvements collectifs de cellules. Nous étudions deux variantes de ce modèle dans l'espace tout entier mathbb R^d avec geq 3 Nous établissons un nouveau résultat d'existence locale sans condition de petitesse sur la donnée initiale pour la variante parabolique-elliptique de (KS). D'autre part l'existence globale sous une condition de petitesse est améliorée. Puis nous montrons un résulat de concentration de la densité de cellules en temps finipour la variante parabolique-parabolique de (KS). Nous complétons notre étude par un outil de visualisation basé sur une réduction du système parabolique-elliptique à un système dynamique de type flot gradient en dimension finie. La troisième partie est consacrée à la modélisation mathématique de l'athérosclérose. Dans un premier temps nous proposons un système d'équations aux dérivées partielles de type réaction-diffusion pour la formation des plaques d'athéromes au niveau de la paroi artérielle et nous proposons quelques simulations numériques pour valider ce modèle. Dans un second temps, en tenant compte du changement hémodynamique dû à l'apparition de la plaque, nous proposons quelques modèles pour le développement latérale de la plaque d'athérome.

  • Titre traduit

    Biological modeling and qualitative study of some partial differential equations


  • Résumé

    This thesis is devoted to some mathematical modeling of biological issues and the qualitative study of some partial differential equations. The first part is devoted to the analysis of a nonlinear heat equation with a gradient structure. We use the formulation in self-similar variables to construct a blow-up solution in finite time, and we show its stability with respect to perturbations of the initial data. We also give its profil at the blow-up time. The second part is devoted to the classical Keller-Segel (KS) model for the collective motion of cells. We study two variants of this model in the whole space mathbb R^d for d\geq 3. We establish a new result of local existence without any smallness assumption on the initial density for the parabolic-elliptic variant of (KS). We improve the smallness condition for the global existence and we provide a comparison between a couple of blow-up criteria. Next we prove a new concentration phenomenon criteria for the fully parabolic KS model. This study is completed with a visualization tool based on the reduction of the parabolic-elliptic system to a finite-dimensional dynamical system of gradient flow type, sharing similar features with the infinite- dimensional system. The third part is devoted to the mathematical modeling of atherosclerosis. Initially we propose a system of partial differential equations of reaction-diffusion type for the formation of atherosclerotic plaques on the arterial wall and we propose some numerical simulations to validate this model. In a second step we take into account the hemodynamic changes due to the growth of the plaque, and we propose accordingly some models for the lateral progression of the atherosclerotic plaque.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (VIII-109 p.)
  • Annexes : Bibliogr. en fin de chaque chapitre. [190] réf. bibliogr.

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  • Cote : T Paris 6 2010 623
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