Algèbres de Higgs de courbes et cristaux de lacets

par Guillaume Pouchin

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Olivier Schiffmann.

Soutenue en 2010

à Paris 6 .


  • Résumé

    Cette thèse se situe dans le domaine de la théorie géométrique des représentations. Elle se présente en deux parties. La première partie a pour sujet une nouvelle forme de dualité de Schur-Weyl. Cette dualité, sous sa forme la plus simple, met en relation les représentations d'un groupe symétrique avec celle d'un groupe général linéaire. Il en existe d'autres versions, notamment entre les représentations d'une algèbre de Hecke et celles d'un groupe quantique affine. Celle-ci peut être réalisée sous forme d'algèbres de convolution en terme de fonctions sur des variétés drapeaux agissant sur un certain espace. Nous mettons en valeur une nouvelle forme de dualite�� entre certaines algèbre dites W, et des algèbres de Schur cyclotomiques, en utilisant cette forme géométrique. La deuxième partie porte sur une réalisation d'algèbres de Lie de lacets de façon géométrique. On utilise un certain espace de modules (l'espace des fibrés de Higgs sur la droite projective), ainsi que l'ensemble des fonctions localement constructibles sur un sous-espace lagrangien. Une multiplication naturelle est définie pour ces fontions, et l'agèbre obtenue est identifiée à une partie positive d'une algèbre de Lie de lacets. Cette construction est ensuite utilisée pour produire une base particulière de cette algèbre, indexée par les composantes irréductibles du support, analogue aux bases canoniques pour les groupes quantiques. Une construction géométrique d'un nouvel objet est ensuite donnée (analogue à la construction géométrique de cristaux dans le cas des carquois). On appelle cet objet combinatoire un cristal de lacets, et nous étudions ses premières propriétés, ainsi que ses applications au niveau de la théorie des représentations.

  • Titre traduit

    Higgs algebra of curves and loop cristals


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Informations

  • Détails : 1 vol. ( 82 f.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 81-82.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Consultable sur place dans l'établissement demandeur
  • Cote : T Paris 6 2010 588
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