Implicitization of rational maps

par Nicolas Botbol

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Marc Chardin et de Alicia Dickenstein.

Soutenue en 2010

à Paris 6 en cotutelle avec l'Universidad de Buenos Aires .

  • Titre traduit

    Implicitisation d'applications rationnelles


  • Résumé

    Motivés par la recherche de formules explicites pour les résultants et les discriminants, on se concentre sur l'implicitisation des hypersurfaces dans plusieurs contextes. Implicitisation signifie calculer une équation implicite H de l'image fermée \overline\im(f), étant donné une application rationnelle f:A^(n-1)-> A^n. C'est un problème classique et il y a de nombreuses approches (cf. \ SC95 et Co01). Toutefois, il s'avère que le problème d'implicitisation est difficile du point de vue du calcul. Notre approche est basée sur l'utilisation des syzygies linéaires au moyen de complexes d'approximation, en suivant BuJo03, BC05, et Ch06, ou ils développent la théorie pour une application rationnelle f:P^(n-1)-> P^n. Les complexes d'approximation ont d'abord été introduits par Herzog, Simis et Vasconcelos dans HSV il y a presque 30 ans. L'obstruction principale de la méthode des complexes d'approximation vient du mauvais comportement du lieu base de f. Ainsi, il est naturel d'essayer différentes compatifications de A^(n-1), qui sont mieux adaptés à f, afin d'éviter des points base non désirés. A cet effet, dans cette thèse on étudie des compactifications toriques T de A^(n-1). Tout d'abord, on considère T plongée dans un espace projectif. En outre, on compactifie le codomaine dans (1)^n, pour faire face aux cas des dénominateurs différents dans les fonctions rationnelles qui définissent f. On a également abordé le problème implicitisation lorsque la variété torique T est définie par son anneau de Cox, sans un plongement projectif particulier. Dans tous ces cas, on éclate le lieu base de f et on approche l'algèbre de Rees R_IA par l'algèbre symétrique S_IA.


  • Résumé

    Motivated by the interest in computing explicit formulas for resultants and discriminants we focus on the implicitization of hypersurfaces in several contexts. Implicitization means, given a rational map f:A^n-1->A^n, to compute an implicit equation H of the closed image of im(f). This is a classical problem and there are numerous approaches to its solution (cf. SC95 and Co01). However, it turns out that the implicitization problem is computationally difficult. Our approach is based on the use of linear syzygies by means of approximation complexes, following BuJo03, BC05, and Ch06, where they develop the theory for a rational map f:P^n-1->P^n. Approximation complexes were first introduced by Herzog, Simis and Vasconcelos in HSV82 almost 30 years ago. The main obstruction for this approximation complex-based method comes from the bad behaviour of the based locus of f. Thus, it is natural to try different compatifications of A^n-1, that are better suited to the map F, in order to avoid unwanted base points. With this purpose, in this thesis we study toric compactifications T for A^n-1. First, we view T embedded in a projective space. Furthermore, we compactify the codomain inside (P^1)^n, to deal with the case of different denominators in the rational functions defining f. We also approach the implicitization problem considering the toric variety T defined by its Cox ring, without any particular projective embedding. In all this cases, we blow-up the base locus of the map and we approximate the Rees algebra R_IA of this blow-up by the symmetric algebra S_IA.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe sous forme papier

Informations

  • Détails : 1 vol. (161 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p.157-161. [60] réf. bibliogr.

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Consultable sur place dans l'établissement demandeur
  • Cote : T Paris 6 2010 266
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.