Echantillonnage exact : analyse et applications

par Cédric Chanal

Thèse de doctorat en Physique statistique

Sous la direction de Werner Krauth.

Soutenue en 2010

à Paris 6 .


  • Résumé

    La méthode de Monte Carlo est utilisée dans presque tous les domaines de la physique, mais aussi en chimie, en mathématiques et en biologie, etc, généralement sous forme de chaînes de Markov. Dans une chaîne de Markov, l'état du syst\ème suit une marche aléatoire depuis une condition initiale arbitraire vers l'équilibre. A l'équilibre, les l'échantillons sont tirés de la distribution stationnaire de la chaîne de Markov. Un problème majeur de cette m'éthode très générale est que, bien souvent, aucun critère totalement rigoureux ne permet d'évaluer la distance à la distribution stationnaire. Dans cette thèse, nous analysons d'une part la convergence vers la distribution stationnaire et d'autre part, nous appliquons un paradigme nommée exact sampling qui permet d'échantillonner directement la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov. Ce paradigme utilise le couplage des chaînes de Markov pour prouver que sous certaines conditions la condition initiale n'a strictement aucune influence sur l 'état final de la simulation. Cette m'éthode apporte une solution rigoureuse à l'analyse de la convergence. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'application de cette m' éthode à des problèmes actuels de la physique. Nous avons notamment élaborée un algorithme d'échantillonnage exact qui s'applique pour les verres de spins et les sphères dures.

  • Titre traduit

    Exact sampling : analysis and applications


  • Résumé

    The Metropolis algorithm for hard spheres in 1953 has set off an intensive use of Markov chains in statistical physics. A Markov chain generates successive configurations of a physical system using random and time-independant changes of the configuration. This random walk on the state space leads the system to the equilibrium in the limit of infinite simulation times. This means that for such a simulation the final configuration is drawn from the stationnary distribution of the Markov chain. A major problem is to know when the chain is acceptably close to equilibrium in practical simulations. In general, there is no rigorous criterium to provide or bound the distance to the stationnary distribution. In this work, we give an analysis of the convergence toward the stationary distribution and we apply a new paradigm that allows one to sample exactly from the stationary distribution, the `èxact sampling''. This paradigm uses the coupling of Markov chains to prove, under quite restrictive conditions, that the initial state of the Markov chain has strictly no influence on the final state in the simulation, even after finite simulation times. This method provides a rigorous bound on the convergence. In this thesis we apply exact sampling to current non-trivial problems in physics. We developped an algorithm of exact sampling for Ising spin glasses in 2D and 3D and for hard disks. \end{document}

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Informations

  • Détails : 1 vol. ( [101]p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 77-80. 62 réf. bibliogr.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie. Section Biologie-Chimie-Physique Recherche.
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  • Cote : T Paris 6 2010 151
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